Задача к2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1—3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 — К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 — г₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 — r₃ = 12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, В и С.

Таблица К.2

Номер условия	Дано	Найти
		скорости	ускорения
0	s4=4(7t-t2)	,	,aA,a5
1	=2(t2-3)	,	, aB,a4
2	=2t2-9	,	,aC,a5
3	=7t-3t2	,	,aA,a4
4	=3t- t2	,	,aB,a5
5	=5t-2t2	,	,aC,a4
6	=2(t2-3t)	,	,aC,a5
7	=3t2-8	,	, aB,a5
8	s5=2t2-5t	,	,aC,a4
9	=8t-3t2	,	,aA,a4

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ₁(t) — закон вращения колеса 1, s₄(t) — закон движения рейки 4, ω₂(t) — закон изменения угловой скорости колеса 2, υ₅(t) — закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде φ выражено в радианах, s — в сантиметрах, t — в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₄, s₅ и υ₄, υ₅ — вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ — линейные, ω — угловые) и ускорения (а — линейные, ε — угловые) соответствующих точек или тел (υ₅— скорость груза 5 и т.д.).

Указания. Задача К2 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и г₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса г₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁ = f(f).

Д а н о: R₂= 6 см, г₂ = 4 см, R₃ = 8 см, г₃ = 3 см, s₁ = Зt³ (s — в сантиметрах, t — в секундах), А — точка обода колеса 3, t₁ = 3 с. Определить: ω₃, υ₄, ε₃, a_A в момент времени t = t₁.

Р ешение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внеш­них ободах колес (радиуса R_i), через υ_i, а точек, лежащих на внутрен­них ободах (радиуса г_i), — через u_i.

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функ­ции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость: . (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ₂ = υ₁ или ω₂R₂= v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следователь­но, и₂ = υ₃ или ω₂r₂ = ω₃R₃. Из этих равенств находим

. (2)

Тогда для момента времени t₁ = 3 с получим ω₃ = 6,75 с ^-1.

2. Определяем υ₄. Так как υ₄ = υ_B = ω₃r₃, то при t₁ = 3 с υ₄ = 20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая второе из равенств (2), получим ε₃ = = 1,5t. Тогда при t₁ = 3 с ε₃ = 4,5 с ^-2.

4. Определяем a_А. Для точки A , где численно = R₃ε₃, = . Тогда для момента времени t₁ = 3 с имеем

= 36 см/с², = 364,5 см/с² ;

= 366,3 см/с².

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

О т в е т: ω₃ = 6,75 с ^-1, υ₄ = 20,25 см/с, ε₃ = 4,5 с ^-2, =366,3 см/с².