2. Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости.

Пусть ф-я y=f(x) определена на (a, b)

Опр Производной ф-ии y=f(x) в данной т. х называется предел , если предел сущ-ет.

Опр Ф-я y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке х, если приращение y этой функции в т. х, соответствующее приращению х, может быть представлено в виде y=Ax+x, где А – const, не зависящая от х, 0 при x0.

Теорема Ф-я y=f(x) является дифференцируемой в точке х  f(x) имеет в точке х конечную производную.

 y=Ax+x. Пусть х0  x0 

 Пусть функция является беск малой при х0, т.е. y=f’(x)x+x, где  f(x) дифференцируемая.

Опр Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х, соответствующим приращению х, называется главная линейная относительно х часть приращения этой ф-ии в точке х.dy=Ax=f’(x)x dx – дифференциал независимой переменной х -  число. Пусть dx=x 

Теорема Пусть y=f(x) в окрестности точки х₀ возрастает (убывает) и непрерывна.y=f(x) дифференцируема в х₀ и f’(x₀)0  x=f ^–1(y), которая дифференцируема в y₀=f(x₀) u x’(y₀)=1/f’(x₀)

 В у₀ придадим аргументу у приращение у0, ему отвечает х0 (т.к. ф-я возрастает (убывает)) . Т.к. x=f ^–1(y) непр,то х0.Но прих0  

Теорема Пусть x=(t) дифф в точке t₀ , а y=f(x) дифф в точке x₀=(t₀)  сложная ф-я y=f((t)) дифф в точке t₀ u [f((t₀))]’=f’(x₀)(t₀).

t  x  y y=f’(x₀)x+x, ; , t0, т.к. х непр, то х0 

 .

Инвариантность формы 1 дифференциала dy=f’(x)dx не только в случае, когда х – независимая переменная

Пусть y=f((t)), y’=f’(x)’(t)

Теорема (Ролля) f(x)C[a, b] и дифф на [a, b], f(a)=f(b)  [a, b]: f’()=0

Теорема (Лагранжа)f(x)C[a, b] и дифф на [a, b]  [a, b]: f(b) - f(a)=f’()(b - a)

Функции n переменных

Опр Если  предел частного приращения _хкu в точке M(x₁…x_m)

, соответствующий приращению х_к аргумента х_к , при х_к0, то этот предел называется частной производной ф-ии u=f(x₁…x­_m) в точке М по аргументу х_к , и обозначается .

Опр Ф-я u=f(x₁…x_m) называется дифференцируемой в данной точке M(x₁…x_m), если

u=A₁x₁+A₂x₂+…+A_mx_m+₁x₁+…+_mx_m или

A₁x₁+A₂x₂+…+A_mx_m – главная линейная отн-но приращений аргументов часть приращения дифференцируемой ф-ии (если A₁…A_m0 одновременно)

Теорема Если u=f(x₁…x_m) дифф-ма в точке М, то в этой точке  частные производные по всем аргументам: , i=1…m  

Следствие:

Если u=f(x₁…x_m) дифф-ма в точке М, то она и непр в этой точке.

Теорема (достаточное условие дифф-ти) Если ф-я u=f(x₁…x_m) имеет частные производные по всем aргу-ментам в некоторой окрестности точки и они непр в М₀, то эта ф-я дифф-ма в точке М₀.

 Рассмотрим случай u=f(x,y).Частные производные f_x’ и f_y’  в окрестности М₀ и непр в М₀.

Возьмем x, y: M(x₀+x, y₀+y) принадлежит указанной окрестности М₀.

u = f(x₀+x, y₀+y) – f(x₀, y₀) = [f(x₀+x, y₀+y) – f(x₀, y₀+y)]+[ f(x₀, y₀+y) – f(x₀, y₀)] =

= f_x’(x₀+₁x, y₀+y)x+f_y’(x₀, y₀+₂y)y

В силу непрерывности производной в точке М₀:f_x’(x₀+₁x, y₀+y) = f_x’(x₀, y₀)+

f_y’(x₀, y₀+₂y) = f_y’(x₀, y₀)+ ;  , 0, x,y0  u = f_x’(x₀, y₀)x+ f_y’(x₀, y₀)y+x+y

Для n переменных теорема доказывается аналогично 

Опр Дифференциалом du ф-ии u=f(x₁…x_m), дифф-мой в точке М, называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой ф-ии в точке М: