1 Спосіб.

ax²+bx+с=0;

a(x²+ x+ )=0, a 0;

x²+ x+ =0;

(x+ )²- =0;

D= b²-4ac;

x₁=

x₂= ;

(x+ - )(x+ + )=0.

2 Спосіб.

4a²x²+ 4abx+ 4ac=0;

(2ax+b)²-(b²-4ac)=0;

(2ax+b)²-( )²=0.

На перших етапах формування вмінь та навичок розв’язівати квадратні рівняння доцільно виконуючи записи.

Наприклад.

2х²-х-3=0;

а=2; b=1; c=-3;

D=(-1)²-4 2(-3)=25;

x₁= = = ;

x₂= =- =-1.

Звертається увага на дослідження коренів квадратного рівняння:

1. D 0;

2. D=0;

3. D 0.

Дослідити квадратне рівняння ax²+bx+c=0 означає не розв’язати його, а встановити:

1. якій числовій множині належать його корені;

2. якщо корені дійсні, вияснити їх кількість та знаки;

3. якщо знаки різні, визначити, який корінь має більшу абсолютну величину.

D	a	b	c	x1	x2	Примітка
+	+	-	+	+	+
+	+	+	+	-	-
+	+	+	-	-	+
+	+	-	-	-	+
0	+	-	+	+	+	x1=x2
0	+	+	+	-	-	x1=x2
-	+	+	+	Дійснич коренів не має.
-	+	-	+

x²+ x+ =0

1. Якщо 0, то х₁х₂ 0, х₁ і х₂ одного знаку:

а) - 0, х₁ + х₂ 0 х₁ 0 і х₂ 0;

б) - 0, х₁ + х₂ 0 х₁ 0 і х₂ 0;

2. Якщо 0, то х₁х 0, х₁ і х₂ - різні знаки:

а) - 0, х₁ + х₂ 0, ;

б) - 0, х₁ + х₂ 0 ;

3. Якщо b=0, 0, то = .

Для квадратних рівнянь мають місце такі твердження:

1. Якщо у даному квадратному рівнянні поміняти коефіцієнт а і с, то одержимо рівняння, корені якого обернені даним

ax²+bx+c=0; x₁: x₂

cx²+bx+a=0; і

c + +a=c ax²+bx+c=0.

2. Якщо у квадратному рівнянні ax²+bx+c=0 поміняти знак біля коефіцієнту b, то одержимо рівняння, корені якого протилежні кореням даного;

3. Якщо у квадратному рівнянні а і с мають різні знаки, то рівняння має дійсні корені;

4. Якщо а 0 і D=0, то ліва частина квадратного рівняння є повний квадрат;

5. Якщо a+b+c=0, то х₁=1, х₂= ;

6. Якщо a-b+c=0, то х₁=-1, х₂=- .

Важливим моментом при вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта (пряма і обернена). Складність засвоєння теореми Вієта зв’язана з декількома обставинами. Слід розуміти різницю між прямою і оберненою теоремами. Школярі часто роблять помилку посилаючись на ту, чи іншу теорему Вієта. Наприклад, при знаходженні коренів квадратного рівняння підбором, треба користуватись оберненою теоремою, а не прямою, як часто роблять.

Після вивчення теореми Вієта обов’язково розв’язуються задачі такого змісту:

1. знаходження знаків кількох рівняння;

2. знаходження знаків коренів рівняння;

3. складання квадратного рівняння за даними коренями;

4. знаходження коефіцієнта квадратного рівняння за відповідними даними.

Деякі прийоми усного розв’язування квадратних рівнянь з раціональним коренем:

1. ax²+bx+c:

а) відкинення коефіцієнта а;

б) помножити вільний член на а;

в) взяти два числа, добуток яких дорівнює ас, а сума дорівнює b;

г) кожне із знайдених чисел поділити на а;

2) x²+px+q, q=m²h, p=md:

а) знаходження множників m і m², на які діляться p і q на m і m²;

б) знаходяться частки к і l від дільників p іq на m і m²;

в) шукають два числа , добуток яких дорівнює l, а сума к з протилежним знаком;

г) знаходження числа множеного на m.

Т еорема Вієта (пряма). Якщо квадратне рівняння має дійсні корені, то х₁+х₂=-

х₁х₂= .

Теорема Вієта (обернена). Якщо числа m і n такі, що їх сума дорівнює –р, а добуток дорівнює q, то ці числа є коренями квадратного рівняння x²+px+q=0.

Д оведення. m+n=-p

mn=q;

x²-(m+n)x+mn=0;

x²-mx=nx+mx=0 x(x-m)n(x-m)=0 (x-m)(x-n)=0.

Нехай х₁,х₂ – корені рівняння x²+px+q і S_n=x₁ⁿ+x₂ⁿ, (n 2, n’N), тоді правильна рекурентна формула

S_n+1=-pS_n-qS_n-1, S₁=-p, S₂=p²-2q.

Доведення. х₁,х₂ – корені рівняння, тому

х ₁²+px₁+q=0/ х₁^n-1;

х₂²+px₂+q=0/ х₂^n-1;

x ₁ⁿ⁺¹+px₁ⁿ+qx₁^n-1=0

x₂ⁿ⁺¹+px₂ⁿ+qx2n^-1=0;

x₁ⁿ⁺¹+x₂ⁿ⁺¹+p(x₁ⁿ+x₂ⁿ)+q(x₁^n-1+x₂^n-1)=0.

Теорему доведено.

Приклад.

2х²-5х+1

х₁+х₂= ;

х₁х₂= ;

х₁³+х₂³= ( - )= .