Некоторые конкретные выражения для потенциальной энергии Wn(r)

Для нахождения конкретного вида зависимости W_n(r) необходимо вычислить работу

.

В частности, для однородного поля тяжести, где , используя консервативность силы тяжести, получим:

W_n = mgh. (4.10)

Если - гравитационная сила, то

(4.11)

Если - кулоновская сила, то

. (4.12)

Если - сила упругости, то

. (4.13)

4.5. Закон сохранения механической энергии

Работа по перемещению материальной точки, движущейся в поле консервативных сил, равна изменению кинетической энергии:

A₁₂ = W_k2 - W_k1, (4.14)

С другой стороны, эта же работа равна разности потенциальной энергии начальной и конечной точек перемещения, то есть работа равна изменению потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

A₁₂ = – (W_n2 – W_n1) (4.15)

Откуда

W_n1 - W_n2 = W_k2 - W_k1

или

W_k1 + W_n1 = W_k2 + W_n2.

В поле консервативных сил сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки остается постоянной, т.е. сохраняется.

Полная энергия материальной точки W равна:

(4.16)

Полная энергия материальной точки в поле консервативных сил сохраняется.

Полная энергия системы материальных точек

Для системы, состоящей из N взаимодействующих между собой материальных точек, полная энергия

, (4.17)

где W_{п i, k} – потенциальная энергия взаимодействия i –ой материальной точки с k-ой материальной точкой. W_п – потенциальная энергия взаимодействия всех частиц системы между собой.

Закон сохранения энергии для системы материальных точек

Если система материальных точек находится во внешнем поле консервативных сил, то полная механическая энергия W равна:

, (4.18)

где W'_п - потенциальная энергия системы во внешнем поле.

Полная механическая энергия системы материальных точек, находящейся только под действием консервативных сил, остается постоянной.

При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия системы не сохраняется, ее убыль равна работе неконсервативных сил.

5. Механика твердого тела.

5.1. Теорема о движении центра масс.

В классической механике из-за независимости массы от скорости импульс системы можно выразить через скорость ее центра масс.

Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется воображаемая тоска С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

(5.1)

где масса системы.

Скорость i-й материальной точки связана с ее радиусом-вектором соотношением:

(5.2)

Следовательно,

. (5.3)

Скорость центра масс определяется выражением:

(5.4)

т.е.

.       (5.5)

Другими словами, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции.

Для изолированной системы тел, как было показано выше,

(5.6)

Подставив выражение (5.5) в последнее равенство, получим:

(5.7)

т.е. в изолированной механической системе центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Если система незамкнутая (на нее действуют помимо внутренних и внешние силы), то выражение (5.7) с учетом (5.6) запишется следующим образом:

или

     (5.8)

где ускорение центра масс.

Из (5.8) вытекает закон (теорема) движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.