Задание 2

Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине следующих пределов: 1) 1,25σ; 2) 1,50σ; 3) 1,75σ; 4) 2,00σ; 5) 2,25σ; 6) 2,50σ; 7) 2,75σ; 8) 3,00σ; 9) 3,25σ; 10) 3,25σ.

Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000.

Задание 3 (с примером решения)

Вероятность появления ошибки в пределах от –10 до 10´´ равна 0,95, т.е. =0,95. Вычислить с.к.о. измерений, если .

Примечание: - математическое ожидание – это центр группирования случайных величин (ошибок).

Решение: Так как Ф(t)=0,95, то по таблице функции Ф(t) обратным интерполированием находим t=1,96. Но , откуда σ=5,1´´.

Отметим, что математическое ожидание случайных ошибок равно нулю только в случае отсутствия систематических ошибок θ в измерениях. В противном случае математическое ожидание сдвигается на величину систематической ошибки .

Задание 4

В каких пределах (–x;+x) можно с вероятностью 0,495 ожидать появления ошибки Δ, т.е. =0,495, если σ=15?

Задание 5

При некоторых условиях инструмент обеспечивает измерения с точностью σ=10´´. Найти вероятность того, что при измерениях этим инструментом в тех же условиях ошибка по абсолютной величине не превзойдет 6,0´´.

Задание 6 (с примером решения)

Вероятным (средним) отклонением Е называется величина, больше и меньше которой (по абсолютной величине) ошибки в ряде наблюдений равновозможны, т.е. =1/2.

Найти вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный: а) 2µ_абс; и б) 2Е.

Решение: Для решения задачи необходимо воспользоваться формулами связи среднеквадратической ошибки σ и вероятной (средней) Е:

и связи с.к.о. σ и средней абсолютной ошибки µ_абс :

.

Далее решение сводится к нахождению соответствующих значений интеграла вероятности Ф(t) по таблице в Приложение 1.

а) , . Следовательно, .

б) , . Следовательно, .

Задание 7

Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине: а) одинарную вероятную ошибку измерений, т.е. Е; б) двойную вероятную ошибку измерений, т.е. 2Е; в) тройную вероятную ошибку измерений, т.е. 3Е.

Задание 8

Известно вероятное отклонение на 1 км нивелирного Е=2,0 мм. Определить вероятность того, что среднее абсолютное отклонение на 1 км при нивелировании в таких же условиях окажется не более 4,0 мм.

Задание 9

Вероятность того, что ошибка по абсолютной величине превзойдет 4,0´´, равна 0,823. Вычислить вероятное и среднее абсолютное значение.

Задание 10

При исследовании светодальномера одна и та же линия S была измерена 16 раз. Результаты измерений приведены в таблице, пользуясь которыми следует вычислить: первые 4 центральных момента, дисперсию, эксцесс, асимметрию и средние квадратические ошибки эксцесса и асимметрии. Все вычисления привести в таблице.

№ n/n	Si, м	δSi= Si- Sср, мм	δSi2	δSi3	δSi4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	6994.911 6994.890 6994.879 6994.895 6994.882 6994.898 6994.885 6994.883 6994.902 6994.901 6994.895 6994.894 6994.896 6994.883 6994.895 6994.902

Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке литературы:

[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки измерений: §10. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Моменты стр. 36-45;

[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических измерений: §13. Основные характеристики (параметры распределения) случайной величины стр. 56-64; §14. Дополнительные характеристики случайной величины стр. 82-87.

[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений: §3.Случайные величины и их характеристики стр. 14-16; §7. Моменты, асимметрия и эксцесс стр. 22-25.