II. Тема «квадратный трехчлен»

1. Квадратный трехчлен - многочлен вида ах² + bх + с, где х - переменная, а, b, с - числа, причем а ≠ 0.

2. Корень квадратного трехчлена - значение переменной, при котором его значение равно нулю.

Алгоритм 2

Чтобы выяснить, имеет ли квадратный трехчлен корни или их число, надо:

1. приравнять квадратный трехчлен к нулю;

2. определить тип получившегося квадратного уравнения;

3. уравнение типа ах² + bх = 0 всегда имеет два корня;

4. уравнение типа ах² + с = 0 имеет два корня х_1,2 = ± , если  0 и не имеет корней, если < 0;

5. уравнение типа ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня, если D  0, имеет один корень (два одинаковых корня), если D = 0 и не имеет корней, если D < 0.

Алгоритм 3

Чтобы найти корень (корни) квадратного трехчлена, надо:

1. приравнять квадратный трехчлен к нулю;

2. определить вид квадратного уравнения - полное или неполное;

3. неполное квадратное уравнение решить вынесением общего множителя за скобки или выражением переменной;

4. решить полное квадратное уравнение, используя формулы

D = b² - 4ас, х_1,2 = ;

Пример. Найти корни квадратного трехчлена:

а) х² + х - 6; б) 12х² - 12; в) - 0,3х² + 1,5х.

Решение:

а) х² + х - 6 = 0.

D = 1² - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25  0, 2 корня;

х₁ = ; х₂ = .

Ответ: х = -3; 2.

б) 12х² - 12 = 0,

12 (х² - 1) = 0,

х² - 1 = 0,

х² = 1,

х_1,2 = ± 1. Ответ: х_1,2 = ± 1.

в) - 0,3х² + 1,5х = 0,

- 0,3х (х - 5) = 0,

х₁ = 0 или х - 5 = 0,

х₂ = 5. Ответ: х₁ = 0; х₂ = 5.

Алгоритм 4

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители по формуле ах² + bх + с = а (х – х₁)(х – х₂), надо:

1. найти корни квадратного трехчлена (см. алгоритм 3);

2. подставить значения х₁ и х₂ в формулу.

III. Тема «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ»

1. Квадратичная функция (парабола) - функция вида у = ах² + bх + с, где х и у - переменные, а, b, с - числа, а ≠ 0.

2. Областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел, т.е. х  (−∞; + ∞).

3. Графиком функции у = ах² + bх + с является парабола.

4. Расположение параболы в системе координат:

1) у = ах² - график симметричен относительно оси у, вершина графика совпадает с началом координат; при а  0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 ветви вниз;

2) у = а(х - m)² - может быть получен путем смещения графика у = ах² по оси х: вправо на т единиц при т  0 и влево на т единиц при т < 0;

3) у = ах² + n - может быть получен путем смещения графика у = ах² по оси у: вверх на п единиц при п  0 и вниз на п единиц при п < 0;

4) у = а(х - m)² + n - совмещение преобразований графика п.2) и 3);

5) у = ах² + вх + с, можно получить формулу вида у = а(х - m)² + n путем выделения квадрата двучлена или пользоваться алгоритмом.

Алгоритм 5

Чтобы построить график квадратичной функции вида у = ах² + вх + с, надо:

1. выяснить направление ветвей параболы;

2. найти координаты вершины параболы (т; п), где т = и п = ат² + вт + с или , и отметить ее в координатной плоскости;

3. дополнительно можно решить уравнение ах² + вх + с = 0 для нахождения точек х₁ и х₂ пересечения графика с осью х;

4. составить таблицу значений (ориентировочно 7 значений х), где (т; п) занимает центральное место, остальные значения х симметричны относительно т,

5. построить точки, координаты которых вычислены в таблице;

6. соединить полученные точки плавной линией;

7. подписать график параболы.

Пример. Построить график функции у = – х² + 2х + 8.

1. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, т.к. а < 0.

2. Найдем координаты вершины параболы (т; п): т = , п = – 1² + 2 · 1 + 8 = 9, (1; 9).

3. Решим уравнение – х² + 2х + 8 = 0. D = 4 +32 = 36, х₁ = 4, х₂ = - 2

4. Составим таблицу значений:

х	- 2	- 1	0	1	2	3	4
у	0	5	8	9	8	5	0