Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1
– 10. Дана
система линейных уравнений:
.
Убедиться в совместности системы и решить ее по правилу Крамера, методом Гаусса и матричным методом:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2. Введение в математический анализ
11
- 20. Построить
график функции путем преобразования
графика элементарной функции
или
:
11.
,
12.
,
13.
,
14.
,
15.
,
16.
,
17.
,
18.
,
19.
,
20.
.
21-30. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
21. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
22.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
23. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
24. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
25. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
26. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
27. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
28.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
29.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
30. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
31 - 40. Найти производные указанных функций:
31.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
32.
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
33.
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
34.
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
35.
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
36.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
37.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
38.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
39.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
40.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
41-50. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график.
41.
.
42.
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
47.
.
48.
.
49.
.
50.
.
4. Интегральное исчисление функции одной переменной
51 - 60. Найти неопределенные интегралы:
51. а)
;
б)
;
в)
.
52. а)
;
б)
;
в)
.
53. а)
;
б)
;
в)
.
54. а)
;
б)
;
в)
.
55. а)
;
б)
;
в)
.
56. а)
;
б)
;
в)
.
57. а)
;
б)
;
в)
.
58. а)
;
б)
;
в)
.
59. а)
;
б)
;
в)
.
60. а)
;
б)
;
в)
.
5. Элементы теории вероятностей и математической статистики
61 – 70. Решить задачу:
61. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места.
62. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) студент знает только два вопроса; в) студент знает только один вопрос.
63. Вероятность улучшить спортсменом личное достижение по прыжкам в длину равна 0,4. Чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возможность прыгать три раза.
64. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
65. В урне находится 10 шаров, 7 из которых – белые. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.
66. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,7; второе – 0,9 и третье – 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) все три устройства; в) хотя бы одно устройство.
67. В каждой из двух урн по 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую наудачу переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.
68. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, среди какого числа взрослых человек можно ожидать, что в поликлинику будет не менее 75 обращений.
69. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9; второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
70. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливают детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке; 0,8, если на втором станке; 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
71 – 80. Решить задачу на нахождение числовых характеристик дискретной или непрерывной случайной величины:
71.
Найти математическое ожидание, дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
случайной величины
,
заданной законом распределения:
|
-4 |
6 |
10 |
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
72. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной законом распределения:
|
0,21 |
0,54 |
0,61 |
|
0,1 |
0,5 |
0,4 |
73. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равно 0,4. Производится три выстрела. Составить закон распределения числа попаданий. Найти математическое ожидание найденной случайной величины. Построить многоугольник распределения.
74. Вероятность изготовления бракованной детали 0,1. Изготовлено три детали. Найти математическое ожидание найденной случайной величины. Построить многоугольник распределения.
75.
Дискретная случайная величина
принимает три возможных значения:
с вероятностью
;
с вероятностью
и
с вероятностью
Найти
и
,
зная
76.
Случайная величина
задана
плотностью распределения
в интервале
;
вне этого интервала
.
Найти дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины
.
77 – 80. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной функцией распределения
77.
78.
79.
80.
