6 Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Энергия электрического поля

 

Основные понятия, законы, соотношения

Электростатическая индукция. Распределение заряда на проводнике.

Электростатическая индукция. Распределение заряда на проводнике.

Вектор электрического смещения D . Поляризованность Р. Теорема Гаусса. Условия на границе раздела двух сред.

Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии электрического поля.                   

[1] т. 2 §§ 12-15,18-23; [ 2 ] §§ 88-90, 92-95.

Основная задача электростатики - расчет поля при наличии провод­ника решается с помощью метода суперпозиции и метода зеркальных изо­бражений.

Идея метода зеркальных изображений заключается в том, что ищется другая задача - такая, которая решается просто и решение которой может быть использовано. Например, необходимо рассчитать поле, созданное то­чечным зарядом q, находящимся около безграничной проводящей плоско­сти (рисунок За). В этом случае можно использовать решение задачи с двумя точечными зарядами q и -q. Поле этой системы известно, его эквипотенциали и линии вектора Е показаны на рисунке 3б. Если совместить со средней эк­випотенциальной поверхностью (её потенциал φ= 0) проводящую плос­кость и убрать заряд - q, то поле в верхнем полупространстве останется прежним (рисунок Зв).

Рисунок  3

Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд - «изображение» данного заряда (-q), противоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. Фиктивный заряд q создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд (-q) заменяет собой "действие" всех индуцированных зарядов.

При расчете поля в диэлектриках используют следующие два метода. Первый метод основан на принципе суперпозиции. Здесь сначала рас­считывают поле свободных, или (как иногда их называют) «сторонних», зарядов Е₀. Затем определяют поле связанных зарядов E'. И, наконец, напря­женность поля Е в диэлектрике в соответствии с принципом суперпозиции, находят как сумму Е = Е₀ + Е'.

Второй метод основан на применении теоремы Гаусса, с помощью которой находят вектор электрического смещения D, затем определяют на­пряженность электрического поля Е. Использование теоремы Гаусса в инте­гральной форме для расчета полей эффективно в тех случаях, когда поле об­ладает специальной симметрией. Симметрия, а следовательно, и конфигура­ция поля должны быть такими, чтобы можно было подобрать сферическую или цилиндрическую замкнутую поверхность, вычисление потока электриче­ского смещения сквозь которую свелось бы к умножению D (или Е) на площадь S этой гауссовой  поверхности (или ее части).

Метод Гаусса предполагает поэтапное выполнение следующих дейст­вий:

1) определить, исходя из симметрии заданного распределения сторон­ них зарядов, конфигурацию линий вектора  D (или Е); 

2)  подобрать форму и размеры замкнутой поверхности с учетом симметрии поля;

3)    изобразить на рисунке линии вектора D и вспомогательную поверхность;

4)    выразить поток электрического смещения Ф_D сквозь эту поверхность через значение модуля D (или Е) в точках на выбранной поверхности и ее (поверхности) параметры (т.е. радиус, длину и т.п.);

5)    найти суммарный сторонний заряд Q, охватываемый этой поверхностью, т.е. находящейся внутри нее;

6)    на основании теоремы Гаусса составить уравнение, приравняв по­ток Ф_D найденному заряду Q, и найти электрическое смещение D(r)  или D(x) (в зависимости от симметрии поля).

         Пример 10.

         Два бесконечно длинных тонкостенных коаксиальных цилиндра радиусов R₁ и R₂ равномерно заряжены с поверхностными плотностями заря­дов σ₁ и σ₂  Пространство между цилиндрами заполнено однородным и изо­тропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Определить напряженность Е во всех точках поля.

         Решение.

1) Сторонние заряды в рассматриваемой физической систе­ме распределены равномерно на двух цилиндрических поверхностях, имею­щих общую ось. Эта ось и является осью симметрии. Исходя из симметрии системы можно заключить, что как напряженность Е, так и смещение D направ­лены радиально, а их модули зависят от одной координаты - расстояния  r точки поля до оси.