Импульсно-кодовая модуляция

Концептуально преобразование аналогового сигнала непрерывного во времени в цифровой, имеющий дискретную структуру во временной области, очень простая задача, состоящая из двух процессов: дискретизации и квантования. Дискретизатор конвертирует непрерывный сигнал x(t) в дискретный сигнал x[n], путем измерения амплитуды непрерывного сигнала через строго соблюдаемые интервалы времени T. Квантователь преобразовывает амплитуду непрерывного сигнала x в дискретную амплитуду x_d. Структурная схема ИКМ представлена на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема процесса преобразования аналогового сигнала в цифровой

К сожалению, результирующий цифровой сигнал немного отличается от дискретного сигнала на величину, называемой ошибкой квантования или цифровым шумом (рис. 3), который равен:

(1)

Ошибка квантования появляется в процессе кодирования, поскольку амплитуда исходного сигнала может быть представлена исключительно 2^В дискретными уровнями, в то время как амплитуда аналогового сигнала представлена бесконечным количеством уровней. На рис. 3 изображен квантователь с восьмью уровнями квантования 2³ = 8. Входной аналоговый сигнал представлен на горизонтальной, непрерывной во времени, оси x(t) (рис. 3, с), так как этот сигнал является непрерывным [4].

Рис. 3. ИКМ, а) Дискретизация сигнала по времени и квантование по уровням, б) Уровни 3-битового квантователя, которыми представлен диапазон от минимального до максимального значения амплитуды аналогового синала, с) Входной и выходной квантованный сигнал. д) Ошибка квантования

Выходной сигнал отображен на вертикальной оси для дискретного значения x[n] амплитуды аналогового сигнала. Важно заметить, что значения амплитуды аналогового сигнала, незначительно отличающиеся друг от друга, в процессе квантования бут закодированы одним двоичным числом, в результате чего эти амплитуды после обратного преобразования будут иметь одинаковые значения (рис. 3, а).

Из вышеизложенного на интуитивном уровне понятно, что существуют две проблемы в процессе преобразования аналогового сигнала в цифровой сигнал. Первой проблемой является максимальный поддерживаемый АЦП диапазон сигнала или, другими словами, размах аналогового сигнала должен точно укладываться в диапазон уровней квантования. Если же сигнал выходит за этот диапазон он будет усечен или искажен. Второй неизбежной проблемой является конечное число уровней квантования, приводящее к уменьшению репрезентативной точности и в итоге к появлению шума квантования (рис. 4).

Рис. 4. Процесс квантования для синусоидального сигнала: (a) не квантованный сигнал x[n], (b) квантованный сигнал x_q[n] (3 бита), (c) ошибка квантования e[n] (3 бита), (d) ошибка квантования e[n] (8 бит)

Рассматривая процесс квантования через призму статистического аппарата можно увидеть следующее:

1. Процесс квантования приводит к дискретности функции плотности распределения вероятности квантованного сигнала.

2. Функция плотности распределения вероятности ошибки квантования (рис. 5) укладывается в диапазон: , где  — шаг квантования.

И з пункта 2 становится понятно, что чем меньше шаг квантования, тем выше репрезентативная точность и тем меньше мощность шума. Однако возникает насущный вопрос, — каким параметром количественно можно описать мощность шума, и как он связан с количеством бит, характеризующих диапазон квантования?

В нашем случае абсолютно не важно, является ли ошибка квантования, полученная по формуле (1), положительной или отрицательной, гораздо важнее — величина этой ошибки! Более того, наибольший интерес вызывает мощность этой ошибки, оказывающая влияние на сигнал, которую можно выразить следующей формулой:

, (2)

где N — количество элементов.

Если учитывать, что входной сигнал, имеющий пиковую амплитуду X_m, полностью перекрывается диапазоном квантования, то шаг квантования будет соответствовать следующему выражению:

. (3)

Как показано на рис. 5 среднее значение шума квантования равно нулю, и любое отдельное значение равномерно укладывается в интервал от до . Это означает, что функция плотности распределения вероятности шума квантования имеет равномерное распределение с нулевым средним. В соответствие с теорией вероятности любую функцию плотности распределения вероятности можно описать двумя параметрами средним и дисперсией, которые вычисляются по следующим формулам:

(4)

(5)

Из теории вероятности также известно, что площадь под кривой функции плотности распределения вероятности равна единице. Ширина диапазона ошибки квантования равна . Следовательно , тогда . Отсюда получаем уравнение для дисперсии шума квантования, с учетом того, что среднее значение равно 0:

(6)

Результат, полученный в выражении (6) характеризует мощность шума квантования в зависимости от ширины шага квантования. Однако больший интерес вызывает зависимость мощности шума квантования от диапазона квантования, т. е. от разрядности АЦП. Используя формулу (3) перезапишем выражение (6):

(7)

В соответствии с этим получаем:

(8)

Выразим отношение мощности сигнала к мощности шума в децибелах:

(9)

Как видно из выражения (9) SNR зависит от соотношения , т. е. от соотношения пиковой амплитуды сигнала к среднеквадратическому отклонению (СКО) значений этого сигнала. Естественно пиковая амплитуда сигнала зависит от типа сигнала, но, как правило, в среднем . В этом случае выражение (9) примет вид:

(10)

Физический смысл выражения (10) весьма прост: с добавлением (уменьшением) одного бита в АЦП увеличивается (уменьшается) шум квантования на 6 дБ. Поэтому, для того чтобы осуществить преобразование непрерывного сигнала в цифровой сигнал с минимальными искажениями, необходимо увеличить точность шага квантования  и диапазон квантования.

Полученный, в результате преобразования, цифровой поток формируется в блоки данных и передается на следующий уровень модели OSI, где каждый блок данных обрамляется соответствующим заголовком, обеспечивающим уникальность этих данных во всем информационном потоке. Процесс добавления служебных данных на каждом уровне называется инкапсуляцией. Этот процесс осуществляется вплоть до физического уровня модели OSI, на котором, поток «непрерывных» битов информации, кодируется в электрические или оптические импульсы, в зависимости от физической среды передачи данных.