Кодування цілих додатних чисел у різних системах числення.
Переведення чисел із різних систем числення у десяткову систему числення.
Десяткова система числення. У десятковій системі числення цифра в крайній праворуч позиції позначає одиниці, цифра, зміщена на одну позицію вліво, позначає десятки, ще лівіше – сотні, потім тисячі і т.д. Розглянемо як приклад десяткове число 555. Цифра 5 зустрічається в числі тричі, причому сама права позначає п'ять одиниць, друга праворуч – п'ять десятків й, нарешті, третя – п'ять сотень.
У розгорнутій формі запису числа множення цифр числа на підставу виробляється в явній формі. Так, у розгорнутій формі запис числа 555 у десятковій системі буде виглядати в такий спосіб:
55510 = 5*102 + 5*101 + 5*10°.
Вище десяткове число 555 було записано у звичній для нас згорнутій формі. Ми настільки звикли до такої форми запису, що вже не зауважуємо, як у розумі множимо цифри числа на різні ступені числа 10, що є підставою десяткової системи числення.
Число в позиційній системі числення записується у вигляді суми числового ряду ступенів підстави, як коефіцієнти яких виступають цифри даного числа.
Двійкова система числення. Числа у двійковій системі в розгорнутій формі записуються у вигляді суми ряду ступенів підстави 2 з коефіцієнтами, у якості яких виступають цифри 0 або 1.
Наприклад, розгорнута запис двійкового числа виглядає в такий спосіб:
101012= 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 16+0+4+0+1=2110
В інформатиці широко використовується вісімкова та шістнадцятькова системи числення. У вісімковій системі підстава дорівнює 8 й алфавіт складається з восьми цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Запишемо восьмеричне число 77 у згорнутій і розгорнутій формах і переведемо його в десяткову систему числення: 778 = 7*81 + 7*80 = 6310.
У шістнадцятковій системі підстава дорівнює 16 й алфавіт складається із шістнадцяти цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, З, D, Е, F}, причому перші десять цифр мають загальноприйняте позначення, а для запису інших цифр {10, 11, 12, 13, 14, 15} використаються перші шість букв латинського алфавіту. Запишемо шістнадцятькове число в згорнутій і розгорнутій формах і переведемо його в десяткову систему числення:
Переведення чисел із десяткової системи числення у 2-ву, 8-ву, 16-ву.
Переклад цілого числа з десяткової системи числення у двійкову.
Алгоритм
1. Послідовно виконати ділення вихідного цілого десяткового числа й одержуваних цілих часток на підставу системи (на 2) доти, поки не вийде частка, менше дільника (тобто менше 2).
2. Записати отримані залишки у зворотній послідовності.
Приклад. Рішення.
32510 = 1010001012 |
325 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
-324 |
162 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-162 |
81 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-80 |
40 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-40 |
20 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-20 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-10 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Аналогічним чином відбувається переведення у 8-ву (ділимо на 8) та у 16-ву (ділимо на 16) системи числення.
Отже, щоб перевести ціле десяткове число в систему числення по підставі р, треба його ділити на р доти, поки останній результат ділення не стане менше р і виписувати цілі залишки від ділення. Отримані залишки, записані у зворотному порядку, утворять число в системі числення по підставі р.
Приклад. Переведемо десяткове число 45 у різні системи числення: по підставі 2, 8, 16.
Число в 10 с.ч., результат ділення на 2 |
Остача від ділення на 2 |
Примітка |
45 |
1 |
(45= 22*2+1) |
22 |
0 |
(22= 11*2+0) |
11 |
1 |
(11= 5*2+ 1) |
5 |
1 |
( 5= 2*2+ 1) |
2 |
0 |
( 2= 1*2+ 0) |
1 |
1 |
( 1=0*2+ 1) |
Випишемо залишки від ділення на 2 у зворотному порядку й одержимо число в 2‑ чной системі числення 4510=1011012
Число в 10 с.ч., результат ділення на 8 |
Остача від ділення на 8 |
45 |
5 |
5 |
5 |
Випишемо залишки від ділення на 8 у зворотному порядку й одержимо число в 8-ричной системі числення 4510=558
Число в 10 с. ч., результат ділення на 16 |
Остача від ділення на 16 |
45 |
13 (D) |
2 |
2 |
Випишемо залишки від ділення на 16 у зворотному порядку й одержимо число в 16-тьковій системі числення 4510=2D16.
Отже, можна сформулювати наступні правила переведення чисел із однієї системи числення в іншу:
Для переведення із10-вої системи числення в будь-яку іншу систему числення необхідно ділити «до упору» дане число на підставу даної системи, у яку переводимо число, а потім записати залишки зліва на право.
Для переведення із будь-якої системи числення в 10-ву систему числення необхідно помножити зміст кожного розряду на підставу системи в степені, що дорівнює порядковому номеру розряду та знайти суму.
Переведення числа з вісімкової системи у двійкову здійснюється заміною зліва направо вісімкової цифри трьома двійковими цифрами.
Переклад числа із двійкової системи числення у вісімкову здійснюється заміною справа наліво кожної тріади двійкових цифр на одну вісімкову цифру.
Приклади:
