2. Правила віднімання в позиційних системах числення.

Інструкція віднімання в двійковій системі:

Віднімати двійкові числа дещо складніше, ніж складати, однак для цієї мети є два методи, один з яких якраз призводить поставлену задачу до операції додавання шляхом перетворень над від'ємником числом. Таке перетворення називається додатковим кодом. Визначити його можна за наступним алгоритмом: спочатку значення всіх позицій від'ємника числа змінюються на протилежні: нулі на одиниці і одиниці на нулі. Потім до одержаного проміжного результату додається двійкова одиниця, тобто число, яке збільшує його молодший розряд на 1.

Приклад: знайти різницю 10010 – 1001:

1. Друге число дорівнює 1001, для нього і потрібно знайти додатковий код.

2. Замініть 1 на 0 і 0 на 1. Отримаємо 0110.

3. Тепер додайте до результату число 0001.

4. Молодший розряд дорівнює 0, отже, його складання з одиницею дасть 0111.

5. Додайте числа 10010 та 0111. Виконуйте цю дію послідовно для кожного розряду, починаючи з правого кінця:

1 +0 = 1;

1 +1 = 0 (1 "в умі");

0 +1 = 1 +1 (див. попер.) = 0 (1 "в умі");

0 +0 = 0 +1 = 1;

1 = 1.

6. Запишіть отриману суму: 10010 +0111 = 11001.

7. Виконайте завершальний етап методу, а саме, відкиньте одиницю, що стоїть у старшій позиції 11001.

8. Отримаємо 1001. Це число і є різницею заданих чисел.

Інший метод передбачає звичайне порозрядне віднімання, аналогічну дії над десятковими числами. Якщо для отримання різниці не вистачає одиниці, вона займається в старшому розряді і перетворюється в 2, саме стільки становить один розряд двійкового числа.

Зробіть той же приклад новим способом:

10010 - 1001:

0-1 = [займаємо 1, у другому розряді залишається 0] = 2-1 = 1;

0-0 = 0;

0-0 = 0;

0-1 = 2-1 = 1

1 зі старшого розряду перейшло в попередній дію в якості 2.

Відповідь: 10010-1001 = 1001.

Приклад 4. Віднімемо одиницю з чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Приклад 5. Віднімемо одиницю із чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Приклад 6. Віднімемо число 59,75 із числа 201,25.

Відповідь: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Перевірка. Перетворимо отримані різниці у десятковий вигляд:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;

215,4₈ = 2 ^. 8² + 1 ^. 8¹ + 5 ^. 8⁰ + 4 ^. 8^-1 = 141,5;

8D,8₁₆ = 8 ^. 16¹ + D ^. 16⁰ + 8 ^. 16^-1 = 141,5.

3. Правила множення в позиційних системах числення.

Виконуючи множення багатозначних чисел в різних позиційних системах числення, можна використовувати звичайний алгоритм перемножування чисел в стовпчик, але при цьому результати перемножування і складання однозначних чисел необхідно запозичувати з відповідної даній системі таблиць множення і складання.

Таблиця 5. Множення в двійковій системі

Таблиця 6. Множення у вісімковій системі

Зважаючи на надзвичайну простоту таблиці множення в двійковій системі, множення зводиться лише до зсувів множеного і складань.

Приклад 7. Перемножимо числа 5 і 6.

Відповідь: 5 ^. 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Перевірка. Перетворимо отримані твори до десяткового вигляду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 3*8¹ + 6*8⁰ = 30.

Приклад 8. Перемножимо числа 115 і 51.

Відповідь: 115 ^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Перевірка. Перетворимо отримані твори до десяткового вигляду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1 ^. 8⁴ + 3 ^. 8³ + 3 ^. 8² + 5 ^. 8¹ + 1 ^. 8⁰ = 5865.