Лекция 2
Вернемся к выражению (1.4):
.
(2.1)
Умножим левую и правую части
выражения (2.1) на
.
(2.2)
Тогда, обозначив
матрицу жесткости, получим уравнение
равновесия в матричном виде
,
(2.3)
где
;
.
Здесь
-
минор матрицы
(определитель подматрицы, которая
получается из данной матрицы
вычеркиванием
-ой
строки и
-го
столбца).
П ример расчета матрицы податливости прямолинейного стержня:
;
где
.
В рассматриваемом случае
.
Рассмотрим случай, когда i = 1.
Рассмотрим случай, когда і = 2
3.Расмотрим случай, когда і = 3:
;
.
4.Рассмотрим случай, когда і = 4:
.
5.Рассмотрим случай, когда і = 5:
6. Рассмотрим случай, когда і = 6:
Тогда согласно формуле (1.6) получаем:
;
;
;
;
;
;
;
.
Рассмотрим матрицу податливости прямолинейного упругого элемента, имеющего переменное по длине сечение. Упругий элемент состоит из двух участков: М и Э.
Рассматриваем матрицу податливости в системе координат Oxyz.
-
площадь поперечного сечения инерционной
массы;
- площадь поперечного сечения
упругого элемента;
;
;
;
;
;
;
;
.
Лекция 3.
Рассмотрим некоторые свойства четных и нечетных функций.
Если А(х)-четная функция, т. е. А(х)=А(-х) (например А(х)=х2), то
.Если А(х)- нечетная функция, т.е. А(х)=-А(-х) (например А(х)=х),
то
.
Если расположить полюс
посередине (
;
)
стержня, тогда, используя свойство
нечетной функции, можем записать
;
.
Значит, если прямолинейный стержень имеет постоянное сечение по длине стержня, а полюс расположен посередине и при этом жестко связан с незакрепленным концом стержня, то матрица податливости имеет диагональную форму.
В случае диагональной матрицы податливости имеем перемещение полюса только в направлении действия силы.
Для упругих элементов постоянного сечения в случае расположения полюса в точке, совпадающей с центром недеформированного стержня, получаем:
;
;
;
;
;
;
.
Система координат, в которой матрица податливости упругого элемента имеет диагональную форму, носит название системы нормальных координат.
В системе нормальных координат при действии в полюсе обобщенной силы, перемещение происходит только в направлении действия силы
.
Пример:
Определим элементы матрицы податливости УЭ постоянного сечения в системе координат, относительно осей и центра которой УЭ обладает симметрией.
Для данного УЭ матрица податливости будет иметь диагональную форму.
;
;
;
;
,
;
;
;
;
;
;
- матрица жесткости
Для диагональной матрицы жесткости
.
Обозначим элементы диагональной матрицы жесткости
;
;
;
;
;
;
.