4. Однородные уравнения
Уравнение
называется однородным, если функция
является однородной функцией нулевого
измерения.
Последнее означает, что
.
Например,
.
Проверим:
.
Если положить
,
то получаем, что
.
Отсюда следует, что однородное уравнение
может быть всегда записано в виде
.
Введем новую переменную
,
отсюда получаем
,
.
Подставим эти значения в уравнение:
,
тогда
или
.
Получаем уравнение с разделяющимися
переменными
.
Особого рассмотрения требуют значения
,
при котором
и
.
Пример:
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
– общий интеграл.
Значения
подставляем в самое первое уравнение.
Ответ: , .
5. Линейные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным
уравнением первого порядка называется
уравнение содержащие искомую функцию
и её производную
в первой степени. В общем виде такое
уравнение можно записать в виде:
,
где
,
.
Уравнение такого вида чаще записывается как
.
(1)
Если
,
то уравнение (1) называется линейным
неоднородным уравнением. Если
,
т.е.
(1'), то уравнение называется линейным
однородным уравнением.
Рассмотрим в начале линейное однородное уравнение
. (1')
Отметим свойства решений этого уравнения.
1○.
является решением для любой функции
.
2○. Если
решение уравнения (1'), то
также будет решением этого уравнения.
3○. Если
и
решения уравнения (1'), то любая линейная
комбинация
также является решением этого уравнения.
Уравнение (1') является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому
,
,
,
,
– общее решение ЛОУ.
Рассмотрим теперь ЛНУ
(1), такие уравнения решаются методом
вариации. Для этого решается в начале
соответствующее однородное уравнение
,
получаем
.
Решение уравнения (1) будем искать в
виде
.
Функция
должна быть найдена из условия, что мы
получаем решение уравнения (1). Найдем
:
.
Подставим это выражение в уравнение (1)
.
Получаем
,
отсюда
,
тогда
– общее решение ЛНУ.
Можно проверить, что второе слагаемое есть частное решение уравнения (1), поэтому:
Общее решение ЛНУ состоит из общего решения соответствующего ЛОУ и частного решения неоднородного уравнения.
Общее решение ЛНУ находится с помощью двух квадратур.
Если известно одно частное решение неоднородного уравнения, то его общее решение находится с помощью одной квадратуры.
Пример:
.
– ЛНУ,
,
,
,
,
,
– общее решение ЛОУ.
,
,
,
,
,
–
общее решение ЛНУ.
Существует несколько видов уравнений, которые можно свести к линейному уравнению, одно из них это уравнение Бернулли
,
где
.
Разделим обе части уравнения на
,
считая,
,
получим:
.
Обозначим через
,
тогда
,
отсюда
.
Подставляя в уравнение, получаем
или
.
Получили ЛНУ, находя его общее решение
и производя обратную замену, получаем
решение уравнения Бернулли. Значение
является решением этого уравнения, при
.
Пример:
.
– решение этого уравнения,
,
.
Обозначим,
,
,
.
,
,
,
,
,
–
общее решение ЛОУ.
,
,
,
,
,
.
Ответ:
,
.
В некоторых случаях уравнение
таково, что если его перевернуть и
рассматривать
как функцию от
,
то оно будет линейным уравнением вида
Пример:
.
,
,
,
–
общее решение ЛОУ.
,
,
,
,
.