3. Теңдік таңбасы жаңа символды анықтау үшін де қолданылады.

Мысалы: «у=f(х) болсын» деген сөйлемшеде у символы бұрыннан белгілі х және f символдары арқылы анықталған.

Теңдік таңбасы анықтама ретінде қолданылып тұрғанын білдіру үшін кейде оның үстінде def символы жазылады (бұл definition (анықтама) деген сөздің алғашқы үш әріпі ).

Белгілі бір мағынада 1 және 2 жағдайлары 3-дің дербес жағдайлары болады:

1) егер х бұрыннан белгілі болса, онда у=х теңдігі у-ті анықтайды.

2) ах=b теңдігі сол теңдікті қанағаттандыратын х-терді анықтайды.

4. Кванторлар. Жиі кездесетін сөйлемшелерді квантор деп аталатын символдармен белгілеу ыңғайлы және пайдалы.

Біз келесі екі символды қолданамыз:

1) «кез келген», «барлық», «әрбір», «қандай да болмасын» сөйлемшелер математикада бір мағынада қолданылады да, (ағылшын тіліндегі All сөзінің бірінші әрпінің төңкеріліп жазылуы ).

2) «табылады», «белгілі бір» сөйлемшелер математикада бір мағынада қолданылады да,  (ағылшын тіліндегі Exist сөзінің бірінші әрпінің төңкеріліп жазылуы).

3) «шығады», «салдары» деген сөйлемшелер  кванторымен белгіленеді.

Математикалық сөйлемдерде логикалық символдар арқылы ықшамдап жазуға болады.

«Е жиынында жатқан әрбір х үшін Р қасиеті орындалады» деген хЕ : Р түрінде, ал «F жиыннан Р қасиетін қанағаттандыратын у элементі табылады» деген уF:Р түрінде жазылады.

Егер Е жиынының әрбір элементі F жиынында жатса, онда Е жиынын F-тің жиыншасы деп атайды да, Е F символымен белгілейді.

Бұл анықтама символдар арқылы былай жазылады

Е F (хЕ: хF) (3)

(Әрине, мұнда  символы анықтама мағынасында қолданылған).

5. Қарама-қарсы (кері) тұжырымдау ережесі *. Кез келген анықтаманы, толық түсіну үшін, оған кері болатын

______________

*Бұнда тұжырымдар үшін «қарама-қарсы» және «кері» деген сөздер бір мағынада қолданылады.

анықтаманы, қасиетті құра білу өте маңызды. Бұл үшін көбінесе сөздерден гөрі символдармен пайдаланған жөн

 х  Е : Р (4)

тұжырымына кері тұжырым құрайық.

Алдымен келесі мысалды қарастырайық: Е – студенттер группасы, ал Р – студенттің толық үлгеруі болсын.

Онда (4) мынаны белгілейді: Группа толық үлгереді.

Келесі жағдайлардың әрқайсысы орындалғанда «группа толық үлгереді» деп айта алмаймыз:

• Бір студент үлгермейді;

• Екі студент үлгермейді;

• Группаның әрбір (барлық) студенті үлгермейді, бұл жағдайлар қысқаша былай айтылады:

Кемінде бір студент үлгермейді.

Басқаша айтқанда, группада үлгермейтін студент бар болады (табылады).

Кванторлар тілінде бұл былай жазылады:

 хЕ: (5)

(мұнда, жоғарыда айтылғандай, тұжырымның үстіндегі сызықша арқылы соған қарама-қарсы тұжырым белгіленеді).

Әрине, (5) формуласы қарастырылған мысал үшін ғана емес, жалпы жағдайда да орындалады:

«Р қасиеті барлық хE үшін орындала бермейді» деген «кемінде бір х үшін қасиеті орындалады» дегенмен пара-пар.Енді

(6)

тұжырымын, яғни «F жиынында Р қасиетін қанағаттандыратын элемент жоқ» деген «F жиынының әрбір элементі үшін орындалады» дегенмен пара-пар болатынын дәлелдейік.

Айқын түрде орындалатын (бұны 1-теореманың салдары деуге де болады) (AB)(  ) тұжырымы мен A= , теңдігін пайдаланып (6) тұжырымын (5)-тен шығаруға болады:

 ,демек, xE P. Мұнда Е-ні F-ке, х-ті у-ке ал Р-ны -ға ауыстырсақ, онда (6) тұжырымына келеміз.

(5) және (6) тұжырымдарынан келесі жалпы қорытынды шығады.

Қарама-қарсы тұжырым құру үшін  және  кванторлары қолданылып тұрған сөйлемшелерді өзгертпей, ал кванторларды өзара ауыстырып, ( орнына , ал  орнына  кванторын қою керек), ал қорытындысы болатын тұжырымды оған қарама-қарсы тұжырымға ауыстыру керек.

Мысалы, = болса, онда (3) анықтамасына қарама-қарсы анықтама мынау:

(7)

болады, яғни E жиыны F-тің жиынында жатпайтын E-нің элементі табылуымен пара-пар.

Келешекте жоғарыда келтірілген қарама-қарсы тұжырымдау ережесін кеңінен қолданамыз, сондықтан бұл жерде басқа мысалдарды қарастырмай-ақ, (7) мысалымен шектелеміз.