F функциясы х жиынында анықталған болсын. Егер

f(х) = а₁ ₁(х)+ а₂ ₂(х)+ …+ а_n _n(х) + о(_n(х)) (хр) (18)

теңдігі орындалатын а₁, а₂, …, а_n нақты сандары бар болса, онда p-да f функциясын (17) шкала бойынша n ретті жіктеуі бар болады дейді. а_i_i(х) қосындысы (18) жіктеудің бас бөлігі депаталады. Бұндай жіктеу математикада кеңінен қолданылады. Оның негізгі мағынасы мынада: құрылысы күрделі болатын f функциясын белгілі бір мағынада құрылысы қарапайым болатын _i(х) функцияларының сызықтық комбинациясымен жуықтау және онда пайда болатын қателіктің p-ға жақындаған сайын кішкене болуының реті жуықтауға енген _i(х) функцияларының әрқайсысының кішкене болу ретінен жоғары болуы қажет.

Біз бұл кітапта _n(х) = хⁿ түріндегі эталондық функциялармен шектелеміз.

4. Тізбектерді салыстыру. Бұнда функцияларды салыстыру жөнінде берілген анықтамалардың Х оң бүтін сандар жиыны болғандағы дербес жағдайын (яғни тізбектер жағдайын) қарастырамыз.

Сонымен, {а_n} және {b_n} тізбегі берілсін. Белгілі бір С оң саны мен барлық оң бүтін n сандары үшін  а_n  С b_n болуы а_n=О(b_n) (n) символымен белгіленеді. а_n=О(1) (n) шарты {а_n} шенелген тізбек болуымен пара-пар (яғни, нақты санға ұмтылады немесе жоғарғы және төменгі шектерінің арасында тербеліп өзгереді).

Әрбір  оң саны бойынша барлық nК() үшін  а_n   b_n теңдігі орындалатын К() оң саны табылуы а_n=о(b_n) (n) символымен белгіленеді. а_n=о(1) (n) шарты а_n = 0 теңдігінің орындалуымен пара-пар.

Егер әрбір n үшін а_n0, b_n0 болып, =1 болса, онда {а_n} және {b_n} тізбектерін эквивалентті дейді де, а_n  b_n (n) символымен белгілейді.

Мысалдар:

1. ln (1+ )  (n).

2. n+n² = O (n²), n = o (n²), n+n²  n² (n).

§ 8. Шек табуды негізгі тәсілдері

1. Функциялар жағдайындағы анықталмағандықтар. 5 (II тарау, § 2)-пунктте тізбектер туралы айтылған тұжырымдар, әрине, функция жағдайында да орындалады. Дәл айтқанда, 3 (§ 4)-пункттегі теоремада f және g функцияларының шектері нақты сандарды ғана емес, 1 (I тарау, § 3)-ережелерінде көрсетілген мәндерді де қабылдай алады деп жалпыласақ та, теореманың қорытындысы сақталады. Сонымен бірге, 1 (I-тарау, § 3)-ережелеріне кірмей қалған амалдар анықталмағандыққа әкеледі.

Мысалы, 0⁰ символын анықталмағандық ретінде талқылауға болатынын көрсетейік. Басқаша айтқанда,

(х) = g(х) = 0, (1)

теңдіктерін қанағаттандыратын (х) және g(х) функциялары үшін f(х) = (х) ^g(x) функциясының шегі бар болуыда, жоқ болуы да мүмкін екенін дәлелдеу қажет.

(х) =

Онда g(х) =х үшін f( ) =  1 (n) болады (бұл 6 (II тарау, § 1)-пунктте дәлелденген еді), ал

f( ) = = 0  0 (n),

яғни f(х) = (х) ^g(x) үшін а=0 болғанда (1) шарттары орындалады, бірақ 0 нүктесінде f –тің шегі жоқ.

Енді (х) = х, g(х) = болса, онда а=0 үшін (1) шарттары орындалып, f(х) = (х) ^g(x) = х = e e (х0) болады, демек, бұл жағдайда f-тің шегі бар.

Сонымен, берілген f(х) функциясын (1) шарттарын қанағаттандыратын (х) және g(х) функциялары арқылы (х) ^g(x) түрінде жазуға мүмкін болсын. Онда, жоғарыда айтылған бойынша, f функциясының шегі жоқ әлде бар ма, бар болса мәні қандай болатынын алдын ала білуге болмайды. Міне осы сұраққа жауап берудің дәл өзі 0⁰ түріндегі анықталмағандықты ашу деп аталады.

Басқа 0, 1^, , , т.б. жағдайларын да дәл осылай түсіну керек.

2. Шек табудың негізгі тәсілдері (анықталмағандықтарды ашу). Бұнда функцияның шегін тапқанда жиі қолданылатын тәсілдер талқыланады.

А-тәсілі (жіктеу тәсілі). Егер (х) және g(х) көпмүшеліктер болып, (х) = (х-а)^ ₁(х), g(х) = (х-а)^ g₁(а)0 түрінде жіктелсе, онда

= = . (2)

Әрине, бұл анықталмағандықтың түрі « ». (2) теңдігі ₁(х) және g₁(х) көпмүшеліктері үшін қолданылған 3 (§ 4)-пункттегі салдардан шығады. (2)-де ортадағы өрнек сондағы анықталмағандақтың себебі (х-а)^ көбейткіші екенін көрсетсе, соңғы теңдік сол көбейткіштің қысқартылып жойылуымен байланысты анықталмағандық та жойылғанын көрсетеді. Бұл көпмүшеліктер үшін ғана емес, жалпы жағдайда да анықталмағандықтың табиғатын түсіндіреді.

Мысалы, = = =- .

А₁-тәсілі деп әрбір оң бүтін m саны үшін х^m –1 = (х-1)( х^m-1+ х^m-2+ +1) теңдігі орындалатынын пайдалануды атайық.

Мысалы, = =

= (х^m-1+x^m-2++1) = m.

B-тәсілі (иррационалдықты жою тәсілі) деп келесі

В₁: а²-b² = (а- b) (а+ b),

В₂: а³+b³ = (а+b) (а²- аb+b²), (3)

В₃: а³-b³ = (а- b) (а²+аb+b²)

формулаларын қолданып шек табуды атайық.

Мысалы, шегін табайық.

В₁ бойынша а - b = , демек, а= , b=5 үшін

- 5 = = ,

В₂ бойынша а= , b = 2 үшін а- b = = болады.

Сонымен,

= = = .

С-тәсілі (алмастыру тәсілі). Шегін табу керек болатын f(х) функциясын шектері белгілі бір мағынада оңай табылатын g(t) және t(х) функцияларынан құралған күрделі функция ретінде қарастыру – шек табудың алмастыру тәсілі деп аталады, өйткені онда х айнымалысы t айнымалысына ауыстырылады. Бұл тәсіл келесі жағдайда қолданылады: Қайсыбір g(t) және t(х) функциялары үшін

f(х) = g(t(х)), t(х) = b (4)

және

ха  t(х)  b. (5)