Пример выполнения контрольной работы

Вычислить интеграл с помощью подстановки

Пусть , тогда . Выполняем замену переменных в интеграле.

Ответ:

Вычислить интеграл, интегрируя по частям

а) , б)

а)

Пусть . Тогда . Применяем формулу интегрирования по частям , получаем

Ответ:

б)

Пусть , тогда . Выполняем замену переменных в интеграле.

Оставшийся интеграл считаем с помощью формулы интегрирования по частям . Пусть . Тогда . Получаем

.

Второй раз применяем формулу интегрирования по частям к интегралу . Пусть . Тогда . Получаем

. Возвращаемся к исходному интегралу.

Ответ:

3. Вычислить интеграл по формуле Ньютона – Лейбница

а) , б)

а)

Пусть , тогда . При , при . Выполняем замену переменной в определенном интеграле.

Ответ:

б)

Вычисляем интеграл с помощью формулы интегрирования по частям для определенного интеграла . Пусть . Тогда . Получаем

Ответ:

4. Изобразить на плоскости область и изменить порядок интегрирования

а)

б) .

а)

Строим область интегрирования по пределам интегрирования.

.

.

Область расположена по оси ОХ от 0 до 2, слева ограничена дугой окружности , справа дугой окружности , снизу осью ОХ, верхняя точка области имеет координаты .

По области изменяем порядок интегрирования в повторном интеграле.

.

б) .

Построим область интегрирования D.

Для первого интеграла область интегрирования задается системой неравенств

.

Это значит, что каждая вертикальная прямая, проходящая через точки отрезка оси Ох, пересекает сначала (при движении снизу вверх) линию (назовем ее линией входа), а затем линию (назовем ее линией выхода). Графиком функции является часть окружности с центром в начале координат, радиусом , расположенная выше оси Ох. Графиком функции - прямая, совпадающая с осью Ох.

Аналогично, для второго интеграла область задается системой неравенств

.

Графиком функции является нижняя половина окружности с центром в точке (0; 2), радиусом 2.

При перемене порядка интегрирования нужно спроектировать область на другую ось (ось Оy) и найти линии входа и выхода при движении слева направо вдоль горизонтальных прямых.

Координаты точки пересечения графиков функций и можно найти, решив систему уравнений:



При точка пересечения не принадлежит области интегрирования.

При получаем .

Следовательно, - точка пересечения графиков функций и .

Таким образом, проекция области D на ось Оy – отрезок и любая горизонтальная прямая пересекает ее в двух точках: в точке входа - и в точке выхода - . Получаем что, область интегрирования D можно задать неравенствами:

. Тогда

.