Нахождение координат центра тяжести
Координаты центра тяжести однородной
дуги плоской кривой
на отрезке
выражаются формулами:
; 
,
где , а L – длина дуги.
Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам:
; 
,
где , а S – площадь фигуры.
Пример 20. Найти координаты центра
тяжести дуги цепной линии
на отрезке
.
Поскольку данная кривая симметрична
относительно оси Оу, то ее центр
тяжести лежит на этой оси, следовательно,
.
Остается найти
.
Имеем
;
тогда
;
а длина дуги
.
Таким образом,
.
Пример 21. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса , , расположенной в первой четверти, и осями координат.
В первой четверти при возрастании х
от 0 до а величина t
убывает от
до 0; поэтому
.
Воспользовавшись формулой площади
эллипса
,
получим
.
Аналогично находим
.
Таким образом,
,
.
Примеры для самостоятельной работы
44. Найти координаты центра тяжести
фигуры, ограниченной линиями х = 0,
,
у = 0,
.
45. Найти координаты центра тяжести
параболического сегмента, ограниченной
линиями
,
у = 0.
46. Найти координаты центра тяжести
фигуры, ограниченной линиями
,
у = 0.
Вычисление работы и давления
Работа
переменной силы
,
действующей в направлении оси Ох
на отрезке
,
вычисляется по формуле
.
Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S, умноженной на глубину погружения h, на плотность и ускорение силы тяжести g, т.е.
.
Пример 22. Найти работу, совершенную при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а и радиус R.
Объем
элементарного слоя воды, находящегося
на глубине х
и имеющего длину а,
ширину
и толщину dx,
равен
.
Элементарная
работа, совершаемая при поднятии этого
слоя воды на высоту х,
равна
,
где
- плотность воды. Следовательно,
.
Пример
23. Найти силу
давления бензина, находящегося в
цилиндрическом баке высотой
м
и радиусом основания
м
на его стенки, если
кг/м3.
Элемент силы давления на поверхность стенки в выделенной полоске выражается так:
.
Отсюда
.
Примеры для самостоятельной работы
47. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из конического сосуда, основание которого горизонтально и расположено ниже вершины, если радиус основания равен а и высота равна b.
48. Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость. Какую работу надо совершить при этом, если длина цистерны равна а, а диаметр равен d?
49. Цилиндрический баллон диаметром 0,24 м и длиной 0,8 м наполнен газом под давлением 2 кПа. Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема, в два раза меньшего?
50. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой а и радиусом b ( = 900 кг/м3), на стенки бака на каждом метре глубины.
51. Скорость точки меняется по закону v = 100 + 8t (где v выражается в м/c). Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [0, 10]?
52. Скорость точки меняется по закону v = 2(6 – t) (где v выражается в м/c). Каково наибольшее удаление точки от начала движения?