3. Системы счисления

   1. Позиционные системы счисления

Системой счисления называют способ записи чисел. В позиционной системе значения числа определяется символами, принятыми в системе, и положением (позицией) этих символов в числе.

В общем виде запись числа в позиционной системе счисления имеет вид:

A=a_n-1p^n-1+…+a₀p⁰+a_-1p^-1+…+a_-ip^-i+…+a_-mp^-m,

где р – основание системы счисления; a_i – коэффициенты целой и дробной части числа; n - разрядность целой части числа; m – разрядность дробной части числа.

Общий вид записи числа в позиционной системе счисления позволяет переводить числа, записанные в системе счисления с любым основанием, в десятичную систему. Например, запись двоичного числа 1100,011 будет иметь вид:

А=12³+12²+02¹+02⁰+02^-1+12^-2+12^-3=8+4+0+0+0+0,25+0,125=12,375.

Арифметические действия с числами любой позиционной системы счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе.

Например, пусть требуется сложить два числа (5₈ и 6₈) в восьмеричной системе счисления. Сумма и больше основания системы счисления 8, поэтому необходимо произвести перенос единицы в старший разряд и записать остаток в младшем разряде. Получим 13₈.

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую разработаны специальные правила, причем целая часть числа переводится по одним правилам, а дробная по другим.

Для перевода целой части число последовательно делится на основание системы счисления. Остаток от деления будет являться одним из разрядов искомого числа.

Рассмотрим пример. Пусть требуется перевести число 12 в двоичную систему счисления. Делим число 12 на 2 (остаток 0), результат деления 6 делим на 2 (остаток – 0), результат деления 3 делим на 2 (остаток 1), результат деления 1, процесс перевода закончен, получаем 1100.

Для перевода дробной части число последовательно умножается на основание системы счисления. Целая часть будет являться одним из разрядов после запятой искомой дроби.

Рассмотрим пример. Пусть требуется перевести десятичную дробь 0,375 в двоичную систему счисления. Умножаем 0,375 на 2 (целая часть произведения – 0), дробную часть произведения 0,750 умножаем на 2 (целая часть произведения – 1), дробную часть произведения 0,5 умножаем на 2 (целая часть произведения – 1), дробная часть произведения 0, процесс перевода закончен, получаем 0,011.

Для того, чтобы перевести в двоичную систему счисления смешанное десятичное число, необходимо выделить дробную и целую часть числа, а затем воспользоваться сформулированными выше правилами. Например, пусть дано число 12,375. Переведем целую часть числа (12) в двоичную систему, получим 1100. Переведем дробную часть числа (0,375) в двоичную систему, получим 0,011. Сложим дробную и целую части, получим 1100,011.

Программа Калькулятор, входящая в состав стандартных приложений Windows, при выполнении вычислений, кроме десятичной системы счислений может использовать двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Для этого Калькулятор надо перевести в инженерный вид, после чего появятся переключатели систем счисления (16-Нех, 10-Dec, 8-Oct, 2-Bin). Число, набранное в поле ввода, автоматически переводится в другую систему счисления. При преобразовании дробных чисел в другую систему счисления его дробная часть автоматически отбрасываются.