Оценка точности функций измеренных величин.

В геод. практике часто значения искомых величин (координат т., превыш. и т.п.) находят по рез-м непосредственных измер. углов, линий и др. Очевидно, что если непосредственные изм. сопровождаются случайными ош., то и рез-ты косвенных измерений также будут иметь ош. При этом величина ско функции зависит не только от ош. аргументов, но и от вида самой функции.

Пусть задана ф-я общего вида y=f(x₁,x₂,…,x_n), аргументы которой независимо измерены со ско m₁,m₂,…,m_n.

Выразим величины ф-ии и аргументы через их истинные значения и ош. в виде:

Y+∆y=f(X₁+∆x₁, X₂+∆x₂,…,X_n+∆x_n).

Поскольку, ош.∆x₁,∆x₂,…,∆x_n малы, то разложим выражение в ряд Тейлора, ограничиваясь только членами, содержащими первые степени погрешностей:

Y+∆y= f(X₁,X₂,…,X_n)+ ∆x₁+ ∆x₂+…+ ∆x_n

∆y= ∆x₁+ ∆x₂+…+ ∆x_n

Возведем данное ур-е в квадрат и разделим на n:

=( )² +( )² +…+2( )( ) +2( )( ) +…

Для ряда из k измерений можно получить k аналогичных рав-в, просуммировав которые получим:

=( )² +( )² +…+2( ( +2( ( +…

Принимая во внимание, что математическое ожидание случайной ошибки =0, то =0, тогда:

=( ² +( ² +…+( ²

Переходим от истинных ош. к ско, учитывая, что согласно ф-ле Гаусса:

= , =

Тогда ур-е в окончательном виде запишется так:

,

т.е. квадрат ско функции общего вида независимых аргументов равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на ско соответствующих аргументов.

Принцип равных влияний

Сущность этого принципа заключается в требовании рав-ва слагаемых в ф-ле ско функции общего вида

Приняв, что

,

получим:

Приведенное соотношение позволяет вычислить знач. ско аргументов по заданной точности ф-ии.

Неравноточные измерения

Если хотябы один из факторов, определяющих содержание условий измерений, будет изменяться, то такие измерения назыв. неравноточными.

Основными показателями, служащими для оценки точности неравноточных изм., явл. ско единицы веса и весового среднего.

Пусть имеем ряд неравноточных измерений x₁, x₂,…, x_n ,полученных с истинными ош. ∆₁, ∆₂,…, ∆_n и весами p₁, p₂,…, p_n. Вес – степень доверия к рез-ту изм., выраженная числом. Чем выше вес, тем выше доверие и меньше ско.

1)Через истинные ош.

Для каждого результата ряда изм. можно написать:

; ; … ;

Сложив левые и правые части рав-в и разделив эти суммы на число изм., получим:

или

При достаточно большом числе изм. можно считать, что , тогда:

- ф-ла Гаусса для неравноточных изм.

2) Через уклонения от весового среднего

Умножим левые и правые части рав-в на соответствующие веса, и сложим их.

При имеем , т.е. ф-ла равноточных измерений

Для каждого рез-та ряда неравноточных изм. можно записать значение истинной ош. и уклонений в виде: , где

X- истинное знач. измеренной величины, -среднее весовое

Вычитая из первого уравнения вторе будем иметь:

, отсюда:

Составим такие рав-ва для всех рез-в неравноточных изм. и возведем левые и правые части в квадрат.

Умножим каждый рез-т на соответствующий вес и, сложив левые и правые части рав-в получим:

,

Разделив обе части рав-ва на число изм. получим:

² , учитывая , тогда

Заменим на ско среднего весового которую можно найти из выражения: . Тогда:

или

Решая ур-е относительно , получим:

- ф-ла Бесселя.

При ограниченном числе измерений надежность определения ош. единицы веса