3.3. Примеры решения задач к3.1, к3.2

Пример 1

Для балки (рис. 6а) подобрать сечение в виде двутавра из усло­вия прочности и заданного условия жесткости в точке D. Проверить прочность по касательным напряжениям. Исходные данные:  = =160 МПа,  = 100 МПа, Е = 210⁵ МПа,   =0,310^-3 м, q=2 кН/м, l = 1 м.

Решение

1. Раскрываем статическую неопределимость.

Определяем степень статической неопределимости.

.

Выбираем основную систему (ОС)

Для получения ОС заданную систему освобождаем от всей нагрузки и связи в точке С. ОС показана на рис. 6б.

Рис. 6

Переходим к эквивалентной системе (ЭС).

Для этого ОС нагружаем заданной нагрузкой и неизвестной си­лой X_i в точке С. Эквивалентная система показана на рис. 6в.

Записываем каноническое уравнение

Для системы, один раз статически неопределимой, каноническое уравнение имеет вид

.

Вычисляем коэффициенты уравнения.

Для этого строим грузовую M_p (рис. 6д) и единичную M₁ (рис. 6ж). Эпюры M_p и M₁ строят по стандартному алгоритму так, как это делали в контрольной работе № 1. Расчетные схемы для их построе­ния даны соответственно на рис. 6г,е. Для вычисления ₁₁ используем формулу (3.3а)

,

здесь учтено, что результат перемножения эпюры M₁ самой на себя на участках I и II равны результату перемножения на участке III.

При вычислении перемножение эпюр M_p и M₁ на участках I и III выполнено по формуле (3.3а), на участке II по формуле (3.5).

Решаем каноническое уравнение.

Для этого ₁₁ и сокращаем на общий множитель и подставляем их в исходное уравнение

.

Откуда .

Строим суммарные эпюры.

Используем традиционный подход. Основную систему нагру­жаем заданной нагрузкой и найденной реакцией X₁ в точке С (рис. 6з). От их совместного действия по стандартному алгоритму (так, как это делали в контрольной работе № 1) строим суммарные эпюры.

Определяем опорные реакции

откуда Y_B=2ql .

.

откуда .

Проверка: .

Реакции определены верно.

Записываем аналитические выражения для определения Q и М.

I участок (0  z₁  )

;

.

II участок (0  z₂  )

;

III участок (0  z  l)

Так как Q на границах участка имеет разные знаки, то на эпюре М, в сечении, где Q = 0, будет экстремум. Определим его:

.

Отсюда . Подставляя значение в выражение М(z₃), получаем:

.

По вычисленным значениям Q и M строим суммарные эпюры (рис. 6и,к).

Деформационная проверка

Берем иную ОС, чем та, с использованием которой выполнялось решение. Для этого в точке В убираем опору. Вместо нее прикладываем единичную вертикальную силу (рис. 6л). От ее действия строим единич­ную эпюру (рис. 6м).

Перемножаем эпюры и по формуле (3.5)

.

Это показывает, что все действия по построению суммарных эпюр выполнены правильно.

2. Определяем для балки необходимый номер двутавра из условия прочности.

Условие прочности:

,

где M_max – максимальный момент на эпюре М_сум,, ; W_x – момент сопротивления изгибу относительно оси х.

Из условия прочности определяем необходимый W_x

м³ = 46,8 см³.

По сортаменту подходит двутавр № 12, у которого W_x = 58,4 см³.

3. Определяем для балки необходимый номер двутавра из заданного ус­ловия жёсткости.

Условие жёсткости .

В ыразим – вертикальное перемещение (прогиб) в точке D. Для этого к основной системе в точке D прикладываем вертикальную единичную силу (рис. 7а). Строим единичную эпюру изги­бающих моментов (рис. 7б).

П

Рис. 7

еремножая эпюры М_сум (рис. 6к) и по формуле (3.5), получаем выра­жение для .

Подставляя найденное выражение для в условие жесткости, по­лучим

.

Отсюда минимальное значение I_х для балки

м⁴ = 868 см⁴.

По сортаменту подходит двутавр № 16 с I_х = 873 см⁴.

Окончательно для балки из двух найденных двутавров берем боль­ший – двутавр № 16. Для него из таблиц сортамента: I_x = 873 см⁴, W_x = 109 см³, = 109 см³, d = 5 мм.

4. Проверяем прочность балки по касательным напряжениям.

Условие прочности: .

Q_max = (взято с эпюры Q_сум),

b = d.

Тогда

Па =

= 3,57 МПа   = 100 МПа.

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

Пример 2

Для рамы (рис. 8а) определить допускаемое значение интенсив­ности равномерно распределенной нагрузки q.

Исходные данные:  = 160 МПа, M = ql², l = 3 м, поперечное сечение – двутавр № 20.

Решение

Расчетная схема рамы статически неопределима.

1. Раскрываем статическую неопределимость.

Определяем степень статической неопределимости.

L = C_о – C_н = 5 – 3 = 2.

Общее число связей C_о, наложенных на раму, равно 5 (три в опоре А и две в опоре В).

Так как рама плоская, то число связей, необходимых для ее равнове­сия, С_н = 3.

Р ис. 8

Выбираем основную систему.

Для этого раму освобождаем от всей нагрузки и связей в опоре В. Полученная ОС дана на рис. 8б.

Переходим к эквивалентной системе.

Для этого ОС нагружаем заданной нагрузкой и неизвестными силами X₁, X₂ в точке В взамен отброшенных связей. Полученная таким образом ЭС дана на рис. 8в.

Записываем систему канонических уравнений.

Для дважды статически неопределимой стержневой системы она имеет вид

Вычисляем коэффициенты системы канонических уравнений.

Для этого строим грузовую М_р (рис. 8г) и единичные М₁ и М₂ (рис. 8д,е) эпюры.

Перемножая единичные эпюры по формуле (3.3а), вычисляем ко­эффициенты при неизвестных

Перемножая грузовую эпюру с единичными по формуле (3.3а), вычисляем и .

Примечание. получены со знаком «минус», так как перемно­жаемые эпюры лежат по разные стороны от базовой линии.

Решаем систему уравнений.

Все коэффициенты сокращаем на общий множитель l³/EI_x и под­ставляем в исходную систему уравнений.

Из второго уравнения выразим Х₁:

(*)

и подставим его в первое уравнение

.

Отсюда .

Найденное значение Х₂ подставляем в выражение (*) и находим Х₁.

.

Проверим правильность решения системы уравнений. Для этого Х₁ и Х₂ подставим в одно из уравнений исходной системы, например во второе

,

и убедимся, что система уравнений решена верно.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов М_сум.

Воспользуемся для этого способом сложения эпюр по формуле (3.12)

.

Г раницы участков обозначим буквами А, В, С, D (рис. 8в). Будем счи­тать положительными ординаты эпюр, отложенные на горизонталь­ном стержне вверх, на вертикальном влево (рис. 9).

I участок

Т

Рис. 9

очка В: М_сум = 0 .

Точка D: М_сум = .

II участок

Точка D: М_сум = .

Точка С: М_сум = .

III участок:

Точка С: М_сум = .

Точка А: М_сум = .

На участке I на эпюре М_сум возможен экстремум, так как здесь имеется равномерно распределенная нагрузка. Для выяснения этого изобразим схему нагружения участка (рис. 10), запишем выра­жение для Q и приравняем его нулю.

,

откуда .

Т

Рис. 10

ак как находится внутри участка I, то на эпюре М_сум будет экстремум.

.

Примечания:

1. Экстремум на эпюре М_х будет в том случае, если z^экс больше 0 и меньше длины участка.

2. При записи выражения для М_экс следует соблюдать принятое правило знаков. Если внешний силовой фактор (Р, М, q) изги­бает отсеченную часть относительно сечения в сторону знака «+», то момент от этого фактора записывают со знаком «+», иначе – со знаком «–».

По вычисленным значениям М_сум в соответствии с принятым правилом знаков строим эпюру М_сум (рис. 8ж).

Примечание. Студенты при выполнении контрольной работы могут строить эпюру М_сум любым способом.

Выполняем деформационную проверку.

Выбираем другую основную систему (что не обязательно, но желательно), убирая 2 связи в опоре А. Вместо отброшенной горизон­тальной связи прикладываем единичную силу . Строим от ее действия эпюру (рис. 8з). Эпюру М_сум перемножаем на эпюру по формуле (3.5):

.

Итак, все действия по построению эпюры М_сум выполнены правильно.

3. Определяем q.

Условие прочности

(взято с эпюры М_сум).

W_x = 184 см³ (по сортаменту для двутавра № 20).

Тогда

.

Отсюда

Н/м =6,1 кН/м.