2. Основные понятия об отображении эллипсоида и сфер на плоскости.

Для того, чтобы отобразить картографируемую поверхность на плоскости необходимо сначала от физической поверхности перейти к вспомогательной поверхности, которая наиболее близка к физической и может быть выражена математическими уравнениями, а затем к плоскости.

Для обеспечения непрерывности изображения при создании карт прибегают к картографическим проекциям.

Математические законы выражают функциональную связь между координатами точек картографируемой поверхности и плоскостью.

Картографической проекцией называется математический способ отображения поверхности эллипсоида на плоскость.

Положение точек на земной поверхности определяется географическими координатами (широта и долгота), в изображении на плоскости им соответствуют точки с прямоугольными координатами (X и Y).

Связь между координатами точек на карте и соответствующими точками эллипсоида на поверхности определяется уравнениями:

(1.1)

При условии, что функции f_1, f₂ однозначны и непрерывны хотя бы для некоторых значений  и .

Свойства проекций зависят от свойств и характера функций.

На сферической поверхности уравнения меридианной и параллелей имеют вид: (1.2)

На плоскости (в проекции) уравнение меридианов имеет вид , уравнение параллелей - (1.3)

Сетка меридианов и параллелей на земном эллипсоиде, шаре и на глобусе является координатной сеткой. Ее называют географической сеткой, а ее изображение на карте – картографической сеткой.

Наиболее простой вид сетки, если проекция описывается следующими уравнениями: . (1.4)

В этом случае параллели и меридианы прямые перпендикулярные линии.

Если сетка описывается следующими уравнениями: , (1.5)

тогда параллели – прямые линии, а меридианы – кривые линии.

Если сетка описывается уравнениями: , (1.6)

тогда параллели – кривые линии, а меридианы – прямые параллельные оси X.

Если уравнением (1.1), то параллели и меридианы – кривые.

2. Понятия об искажениях длин, площадей и углов.

Картографическим искажением называют нарушение геометрических свойств участков земной поверхности и расположенных на них объектов при изображении их на плоскости.

Имеется 4-ре вида картографических искажений: длин линий, углов, формы, площади. Эти искажения зависят от свойств проекции. Длины линий искажаются во всех проекциях, кроме отдельных линий и точек на картах.

Искажение длин линий – связано с изменением масштаба длин на одной и той же карте и выражается в том, что расстояния одинаковые на уровенной поверхности Земли изображаются на этой карте отрезками разной длины. Каждая карта имеет главный масштаб , который показывает общую степень уменьшения всей картографируемой поверхности при ее изображении на плоскости.

- не влияет на свойство проекции, и его принимают = 1.

Частным масштабом длин - называется отношение бесконечно малого отрезка в проекции к соответствующему бесконечно-малому отрезку на картографируемой поверхности: . (1.8)

Частный масштаб является функцией географических координат и азимута направления: , он определяет свойство проекций. (1.9)

Принято частные масштабы по координатным линиям называть масштабами по меридианам и параллелям:

По меридианам - , при =0 или 180⁰.

По параллелям - , при =90 или 270⁰.

Искажением длин называется разность между частным масштабом длин и единицей, выраженная в %: . . Частные масштабы длин отрицательными быть не могут, если , то изображение пропадает.

Частным масштабом площади (Р) называется отношение бесконечно малого участка на карте к соответствующему участку на картографируемой поверхности: (1.10)

Обычно , но имеется отдельный случай, когда , тогда проекции называются равновеликие.

Частный масштаб площади зависит только от географических координат.

Искажением площади называется разность между масштабом площади и 1, выраженный в %: (1.11)

Искажения углов (U) – характеризуются разностью между величиной угла проекции и величиной соответствующего угла на картографируемой поверхности.