4.2 Метод трапецій

В методі трапецій інтервал інтегрування [a, b] розділяться на n рівних відрізків довжиною

Відрізки ломаної з’єднують точки с координатами (x_і, y_і) и

( x_і+1, y_і+1) та апроксимують підінтегральну функцію. Далі визначаємо суми площ отриманих елементарних трапецій. Наближене значення інтегралу визначаємо за формулою

( y₂+y₃+...+ ), (4.5)

виходячи з того, що площа елементарної трапеції (рисунок 4.5) .

Р исунок 4.5. Геометрична інтерпретація методу трапецій

Рисунок 4.6 Алгоритм методу трапецій

Фрагмент Basic-програми (Метод трапецій)

a=...

b=...

n=...

h=(b-a)/n

s=0: x=a+h

do while x<b

s=s+f(x)

x=x+h

loop

D = h*((f(a)+ f(b))/2+s)

print “D=”;D

4.3 Метод Сімпсона.

В методі Сімпсона шуканий інтеграл представляють у наступному вигляді

, де , , (4.6)

– натуральне число

Далі, підінтегральну функцію у правій частині формулі (4.6) (на проміжку ) замінюють інтерполяційним багаточленом 2-го степені, що має наступний вигляд (див. роботу 2):

,

, де – середня точка проміжку .

Застосувавши формулу Ньютона–Лейбниця до інтегралів , отримаємо

. (4.6)

Згідно зробленим викладкам маємо

. (4.7)

Таким чином, справедлива формула асимптотичного типу (Формула Сімпсона)

, на

Підсумовуючи вище сказане, зробимо висновок, що визначений інтеграл обчислюється як сума площин елементарних криволінійних трапецій за формулою:

(y(a)+4y₂+2y₃+...4y_n-2+2y_n-1+y(b)).

Алгоритм метода Сімпсона зручно розподілити на етапи:

• знаходження значень функції з парними індексами

• S1=y₂+y₄+...+y_n-2,

• знаходження значень функції з непарними індексами

• S2=y₃+y₅+...+y_n-1,

• безпосередньо обчислення інтегралу

(y(a)+4S1+2S2+y(b)).

Через x в алгоритмі позначений аргумент, який відповідає парним номерам індексів, а через z- непарним номерам.

x_i+1

x_i+2

Рисунок 4.7 Геометрична інтерпретація методу Сімпсона

Рисунок 4.8 Алгоритм методу Сімпсона

Фрагмент Basic-програми (Метод Сімпсона)

a=...

b=...

n=...

h = (b-a)/n

s1=0: s2=0

x=a+h:z=a+2*h

do while x<b

s1=s1+f(x)

s2=s2+f(z)

x=x+2*h

z=z+2*h

loop

D = h*(f(a)+ f(b)+2*s1+4*s2)/3

print “D=”;D

Лабораторна робота №5. Чисельне розв’язання диференційних рівнянь

Процеси, що відбуваються в системах різної природи, у тому числі в технічних системах, називаються динамічними і можуть бути досліджені за допомогою математичних моделей.

Динамічний процес - це зміна стану системи в часі, що ще прийнято називати рухом системи.

Система, на поводження якої не можуть впливати випадкові фактори, називається детермінованою.

Стан системи описується набором змінних - фазових координат, які залежно від природи системи можуть відображати різні фізичні величини, такі як швидкість, прискорення, струм, напруга, температура, концентрація і т.д.

Динамічні властивості різних природних і технічних систем такі, що рух у них відбувається за однаковими законами і описується однієї і тією же математичною моделлю. Такою моделлю є звичайні диференціальні рівняння (ЗДР).

Перехідні процеси в радіотехнічних ланцюгах, кінетика хімічних реакцій, динаміка біологічних популяцій, рух космічних об'єктів, моделі економічного розвитку досліджуються з їхньою допомогою.

В ЗДР n-го порядку як невідомі величини входять функція y(x) і її перші n похідних по аргументу x

⁽¹⁾

Зокрема, запишемо рівняння 1-го і 2-го порядку

(2)

У ряді випадків у рівняннях виду (1) вдається виразити старшу похідну в явному виді ( нормальна форма Коші). Наприклад, для (2)

⁽³⁾

Надалі будемо розглядати рівняння виду (3).

З теорії ЗДР відомо, що рівняння (1) еквівалентно системі рівнянь 1-го порядку.

Наприклад, рівняння (4)

можна записати у вигляді системи рівнянь

⁽⁵⁾

де

У загальному випадку система ЗДР має вигляд:

⁽⁶⁾

де y1, y2,... yn - змінні системи; х - аргумент, тобто величина, від якої залежать змінні системи (найчастіше такою величиною є час).

Рівняння вищих порядків на практиці зустрічаються рідко. Як правило, доводиться мати справа із системою ЗДР першого порядку:

⁽⁷⁾

або навіть із випадком, коли n = 1, тобто в системі є один змінна, а перехідний процес описується однією ЗДР.

(8)

Щоб одержати уявлення про поводження системи, необхідно знайти функцію y(х), тобто вирішити ЗДР або систему ЗДР. ЗДР мають незліченну безліч рішень - так зване загальне рішення (рис.1)

Для того, щоб знайти єдине (окреме) рішення, потрібні додаткові умови, яким повинне задовольняти шукане рішення. Залежно від виду таких умов розглядаються три типи задач, для яких доведене існування і одиничність рішень.

Перший тип - це задача Коші або задача з початковими умовами. Для таких задач крім вихідного рівняння (8) у деякій точці х повинні бути задані початкові умови, тобто значення функцій y(х) і їхніх похідних

(9)

До другого типу ставляться так називані граничні або крайові задачs, у яких додаткові умови задаються у вигляді функціональних співвідношень між шуканими рішеннями.

Третій тип - це задачі на власні значення. У них крім шуканих функцій y(х) і їхніх похідних у рівняння входять додаткові невідомі параметри, які називають власними значеннями.

Для рішення (8) потрібно проинтегрировать функцію f(x,y), тобто знайти

(10)

при y= y0 , де c-довільна константа. Рішення цієї задачі аналітичним шляхом (через відомі функції) буває складно і не завжди можливо (як говорять, такий інтеграл не завжди можна взяти). На практиці найчастіше використають чисельні методи, які дозволяють досить просто а іноді і більш ефективно, навіть при наявності аналітичних рішень, одержати наближене рішення.

Більшість методів рішення ЗДР засновано на задачі Коші, алгоритми і програми для якої розглядаються в даних методичних вказівках.