Билет №2 (Задача управления. Уравнение движения объекта)

Часто встречается следующая задача с управляющими элементами: в начальный момент времени t₀ – объект находится в фазовом состоянии x⁰ = { x⁰₁, x⁰₂, …, x⁰_n }. Требуется выбрать такое управление u(t), t≥t₀, которое приведет объект в заранее заданное конечное состояние x¹ = { x¹₁, x¹₂, …, x¹_n }.

Задавая различные управления u(t), t≥t₀, получаем множество траекторий x(t).

Множество траекторий.

Обычно требуется, чтобы переходный процесс x⁰ x¹ был наилучшим. Например, чтобы время перехода было минимальным, или расход горючего был минимален, или энергия, затраченная на время переходного процесса, была минимальна, или путь перехода был кратчайшим. Такой наилучший процесс называется оптимальным.

Если речь идет о наименьшем времени перехода, то такой процесс называется оптимальным в смысле быстродействия.

Уравнения движения объекта.

Начнем с рассмотрения такого примера: пусть G – материальная точка, которая может совершать прямолинейное движение. Ее масса постоянна (рис.4).

Рис.4

Координаты тела G от начала отсчета 0 – x₁. При движении такого тела x₁ меняется с течением времени, а ₁ – скорость движения тела G. Предположим, что на G действуют две внешние силы: сила трения F_тр. = b ₁ и сила упругости F_упр. = -kx_1. Тело G снабжено двигателем. Силу воздействия двигателя обозначим через u. По второму закону Ньютона движение тела G будет описываться следующим дифференциальным уравнением (ДУ) второго порядка:



m ₁ = -b ₁-kx₁+u, (1)

где b – коэффициент трения, k – коэффициент упругости, ₁ – ускорение.

₁ = x₂; ₁= ₂.

Обозначим скорость движения тела x₂, тогда закон движения тела G с течением времени описывается следующей системой ДУ первого порядка:

₁ = x_{2 1} = x₂

m ₂ = -bx₂-kx₁+u ₂ = (-bx₂-kx₁-u)/m (2)

Величины x₁ и x₂ – фазовые координаты тела G, а u – управляющий параметр (рис.5).

Эти уравнения представляют собой закон изменения фазовых координат с течением времени, т.е. закон движения тела G (фазовой точки в фазовой плоскости). Движение объекта описывается обыкновенными ДУ. Эти уравнения дают выражение производных от фазовых координат через сами фазовые координаты от управляющих параметров:

₁ = f(x₂)

₂ = f₂(x₁,x₂,u) , (3)

или в общем виде:

₁ = f₁(x₁,x₂,…,x_n,u₁,u₂,…u_r)

₂ = f₂(x₁,x₂,…,x_n,u₁,u₂,…u_r)

………………………………

_n = f_n(x₁,x₂,…,x_n,u₁,u₂,…u_r),

или в векторной форме:

= f(x,u) , (4)

где u, x – векторы.

Эти системы невозможно решить, не зная, каким образом будет меняться u с течением времени. Напротив, зная поведение управляющих параметров u₁,u₂,…,u_r, т.е. зная управляющие функции u₁(t), u₂(t), …, u_r(t), t≥t₀, можно с помощью системы:

₁ = f₁(x₁,x₂,…,x_n,u₁(t),u₂(t),…u_r(t))

₂ = f₂(x₁,x₂,…,x_n,u₁(t),u₂(t),…u_r(t))

……………………………………..

_n = f_n(x₁,x₂,…,x_n,u₁(t),u₂(t),…u_r(t)),

= f(x,u,t) – в векторном виде, (5)

однозначно определить движение объекта для t>t₀, если известно начальное фазовое состояние t=t₀. Задание начального фазового состояния определяет фазовую траекторию x(t), t>t₀, с помощью системы (5). Это вытекает из теоремы “О существовании и единственности решения системы ДУ”. Для различных u(t) получаем различные траектории.

Ьилет №3 (Допустимые управления. Общая постановка задачи ОУ)

Допустимые управления.

Обычно управляющие параметры u₁, u₂, …, u_r не могут принимать произвольные значения, а подчинены некоторым ограничениям. Например, сила u, развиваемая двигателем, не может быть произвольно большой по величине, а подчиняется ограничению:

α ≤ u ≤ β, (6)

где α и β постоянны. Т.к. u – одномерная величина, то все ее значения находятся на действительной оси. Для объекта, содержащего r управляющих параметров, ограничение имеет вид:

α₁≤u₁≤β₁

α_r≤ u_r ≤ β_{r .} (7)

При r=2, u={u₁,u₂} – все возможные значения находятся в прямоугольнике. При r=3 – в параллелепипеде, а в общем случае все u₁,u₂,…,u_r принадлежат некоторой области . Множество называется областью управления. Эта область может иметь сложное задание, определяемое физикой задачи. Будем предполагать, что указанная область входит в математическую постановку задачи. Для технических задач важен случай, когда точка u₁,u₂,…,u_r может находиться не только внутри, но и на границе области. Управление может мгновенно переключаться (переключать “рули”) из одного положения в другое.

Предполагается, что мы рассматриваем не только непрерывные функции u(t), но и кусочно-непрерывные. Управление может состоять из конечного числа кусочно-непрерывных управлений. Условимся называть допустимым управлением некую кусочно-непрерывную функцию u(t), все значения которой определены в области , непрерывную на концах отрезка t₀≤t≤t₁, где она задана.