1.1.10. Основные свойства ранга матрицы

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

Свойство 2. Ранг матрицы не меняется при перестановке двух ее столбцов.

Свойство 3. Ранг матрицы не меняется, если из нее удалить столбец, все элементы которого равны нулю.

Свойство 4. Ранг матрицы не меняется, если из нее удалить столбец, являющийся линейной комбинацией остальных ее столбцов.

Свойство 5. Ранг матрицы не меняется при умножении любого столбца определителя на произвольное ненулевое число.

Свойство 6. Ранг матрицы не меняется, если к любому ее столбцу прибавить линейную комбинацию остальных ее столбцов.

Следствие 1. Ранг системы векторов – строк матрицы равен рангу системы ее векторов – столбцов и равен рангу этой матрицы.

Пример 1.12. Вычислить ранг матрицы.

.

Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей первую, умноженную на 8. От этого ранг матрицы не меняется (свойство 6). Получаем:

.

Умножим вторую строку на –1/7 , а третью – на –1/21. От этого ранг матрицы не меняется (свойство 5). Получим:

.

Так как третья строка совпадает со второй, то ее можно удалить (свойство 4). Значит,

.

Ранг матрицы равен 2, так как больше двух он быть не может, а отличный от нуля минор второго порядка у этой матрицы существует, например минор

.

1.1.11. Обратная матрица

Процедура обращения матрицы необходима в некоторых методах решения нелинейных алгебраических уравнений, методах оптимизации и т. д.

Если А – квадратная невырожденная матрица порядка n, то существует обратная матрица А^-1 такая, что АА^-1 = А^-1А = I.

Элементы обратной матрицы вычисляют по формуле

А^-1 = (-1)^i+jM_ij/Det(A) = A_ij/Det(A)

или

A^-1 = (-1)^i+jadjA/Det(A), (1.8)

где adjA – присоединенная матрица, образованная путем транспонирования матрицы, составленной из миноров, соответствующих элементов матрицы А. Из последнего выражения следует, что сингулярные (особенные) матрицы обратных не имеют. В основе формулы (1.7) лежит свойство 6 определителей (см. п. 1.1.9):

1. каждый элемент a_ij матрицы А = [a_ij] заменяется своим алгебраическим дополнением;

2. полученная матрица транспонируется и делится на определитель исходной матрицы Det(A).

Обратная матрица А^-1 может быть получена также с помощью операций над строками исходной матрицы А. Операции над строками включают:

1) умножение и деление произвольной строки на число;

2) умножение произвольной строки на число и сложение полученной строки с другой строкой.

Один из способов обращения матрицы состоит в том, что сначала к матрице А справа присоединяется единичная матрица того же порядка. Выполнение некоторой последовательности операций над строками позволяет привести А к виду единичной матрицы I. Вместе с тем исходная единичная матрица I преобразуется в А^-1, так как

А^-1[AI] = [IA^-1].

Пример 1.13.

.

Поскольку |A| = 2, матрица А является невырожденной и, следовательно, А^-1 существует. Чтобы найти А^-1 , построим матрицу:

.

Вычтем строку 1 из строки 2

.

Разделим строку 2 на –2

.

Вычтем строку 2 из строки 1

.

Таким образом,

.

Заметим I^-1 = I, (A^-1)^-1 = A, (A^T)^-1 = (A^-1)^T, |A^-1| = |A|^-1. Если А и В не сингулярные матрицы, то (АВ)^-1 = А^-1В^-1.

Пример 1.14. Найти обратную матрицу для матрицы А с помощью алгебраических дополнений.

Вычислим определитель матрицы А

Так как |A| = 4 ≠ 0 , то для данной матрицы существует обратная. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

По формуле (1.8) получим обратную матрицу

.

Пример 1.15. Найти присоединенную матрицу к матрице А:

.

Алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя D(A) равны:

Присоединенной к А матрицей оказывается следующая матрица