1.8 Интегралы вида где и - целые числа
а)
Пусть хотя бы одно из целых чисел
или
- нечетное, например,
-
некоторое целое число. Тогда
=
и исходный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.
б)
Пусть
и
- четные неотрицательные целые числа.
Тогда интеграл
вычисляют с использованием тригонометрических
формул понижения степени:
1.9 Интегралы вида
вычисляются при помощи формул:
1.10 Интегрирование некоторых иррациональных выражений
а) Рассмотрим интегралы вида
(2)
где
R
– рациональная функция от
переменных,
-
натуральные числа,
Пусть
S
– наименьший общий знаменатель дробей
Тогда с помощью замены
интеграл (2) сводится к интегралу от
рациональной функции переменного
.
Рассмотрим, например, интеграл
.
Выбирая
наименьший общий знаменатель дробей
(то есть 6), сделаем замену
.
Тогда
и
Остается вычислить последний интеграл, как это указано в 1.6.
б) При вычислении интегралов вида
1)
2)
3)
где
- рациональная функция, удобно пользоваться
следующими тригонометрическими
подстановками соответственно:
или
2)
или
3)
или
В этом случае исходные интегралы сводятся к интегралам, описанным в 1.7 и в 1.8.
в) Интегралы от дифференциального бинома, т.е. интегралы вида
где
и
- действительные числа, а
и
-
рациональные, сводятся к интегралу от
обычной рациональной функции одного
переменного только в трех случаях
(теорема Чебышева):
1)
-целое
число; 2)
- целое число; 3)
- целое число.
В
первом случае это делается при помощи
подстановки
,
где s
– общий знаменатель дробей
и
;
во втором случае можно положить
,
где s
– знаменатель дроби
;
в третьем применяют подстановку
,
где s
– знаменатель дроби
.
1.11 Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла Римана и его свойства хорошо изложены в литературе (см. /1 – 4/), поэтому мы останавливаться на этом не будем. Рассмотрим лишь способы вычисления определенных интегралов и их приложения.
а) Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема интегрального исчисления).
Пусть
функция
непрерывна на отрезке
.
Если функция
является произвольной ее первообразной
на этом отрезке, то
б) Формула замены переменной.
Пусть
1) функция непрерывна на отрезке ;
2)
функция
непрерывно дифференцируема на отрезке
,
причем
для всех
,
и
Тогда
Таким
образом, при замене переменного
в определенном интеграле
следует всюду формально заменить
на
и соответственно изменить пределы
интегрирования.
в) Формула интегрирования по частям.
Если
функции
и
непрерывно дифференцируемы на отрезке
,
то
1.12 Вычисление площадей
а)
Если функция
непрерывна и неотрицательна на отрезке
,
то площадь S
криволинейной трапеции, ограниченной
линиями
,
вычисляется по формуле
б)
Если
и
непрерывные на отрезке
функции, причем
на этом отрезке, то площадь фигуры,
ограниченной линиями
вычисляется по формуле
в)
Если непрерывная кривая
задана параметрическими уравнениями
,
причем
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой и прямыми
выражается формулой
где
г)
Площадь сектора AOB,
ограниченного непрерывной кривой
(заданной в полярных координатах) и
двумя лучами
и
,
равна
.