1.6 Дифференциальные уравнения 1-ого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
Пусть дифференциальное уравнение F(x,y,y′)=0 можно разрешить либо относительно искомой функции y= f(x,y′), (1.11)
либо относительно аргумента x= φ(y,y′) (1.12)
Введя
параметр p
= 
=
y′,
уравнения (1.11) и (1.12) переходят в
алгебраические. Дифференцируя их
соответственно по x
или
по y
,
получим системы уравнений:
y = f(x,y′) = f(x,p)
= p
= ∂f/∂y
+∂f/∂p
∙ 
(1.13)
или x = φ(y,y’) = φ (y,p)
= 
= ∂φ/∂y
+
∂φ/∂p
∙ 
(1.14)
Решая системы (1.13) и (1.14), можно найти общее решение уравнений (1.11) и (1.12) в явном или параметрическом виде.
1) Пример: решить дифференциальное уравнение
x = 2y′ – ln y′
Пусть y′ = p , тогда x= 2p – ln p
Продифференцируем это выражение по y:
=
= 2
-
∙
Тогда = (2 - ) – уравнение с разделяющимися переменными
dy = (2p – 1 ) ∙ dp ,
= 
∙
dp
,
тогда y
= 
- p
+ c
Решение уравнения получили в параметрическом виде:
x = 2p – ln p; y = - p + c.
2)
Пример: решить уравнение y
∙ y′
– 
- 1 = 0
Введем
параметр p
= y′
=
, тогда y
∙ p
- 
- 1 = 0,
следовательно, y
=
+
Дифференцируем по x:
dy/dx = y′ = p =2∙p∙(dp/dx) – (1/p²)∙(dp/dx) или
p = (2p – 1/p²)∙(dp/dx), тогда dx = (2-1/p³)∙dp – уравнение с разделяющимися переменными. После интегрирования получим:
x = 2p – 0,5/p² + c
Таким образом, решение получено в параметрическом виде:
x =2p – 0,5/p² + c; y = p²+ 1/p
3) Пример: решить дифференциальное уравнение
y = x + y′ - ln y′
Введем параметр p = dy/dx, тогда y = x + p – ln p (1.15)
Дифференцируем по x:
= p = 1 + - ∙ или p – 1 = (1 - ) ∙ ,
тогда dx =(p-1)/(p(p-1))∙ dp ,
т.е. после интегрирования получим x = ln p +c
Подставим это выражения в (1.15):
y = x + p – ln p = (ln p +c ) + p – ln p
Т.е. y = p + c; x = ln p + c
Если выбрать для параметра p значение p =1 , то получим соотношение, связывающее x и y.
y = x + 1 – особое решение уравнения.
Особые решения дифференциального уравнения.
Решение y = φ(x) уравнения F(x,y,y′)=0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение y = φ(x), но не
совпадает с ним. Если функция F(x,y,y′)=0 и ее частные производные ∂F/∂y и ∂F/∂y′ непрерывны, то любое особое решение уравнения F(x,y,y′) удовлетворяет также уравнению ∂F/∂y′ = 0
Для того, чтобы найти особое решение необходимо исключить y′ из последних двух уравнений. Полученное в результате этих действий уравнение Ψ(x, y) = 0, называется уравнением дискриминантной кривой.
4)
Пример: решить дифференциальное
уравнение
y
= 0,5 (
+2x
∙ y′
+
Введем
параметр p
= y′
, тогда уравнение примет вид:
y
= 0,5
+ 2x
∙ p
+
(1.16)
Дифференцируем это выражение по x: = p = p + 2p + 2x +2x
p + p + 2x + 2x = 0 или (p + 2x) = - (p +2x),
сокращая
на (p
+ 2x),
получим
=-1;
C
– x
= p.
Подставим полученное выражение в (1.16):
y
= 0,5 ∙ 
+ 2x
(c
– x)
+
= = 0,5 ∙ 
- c
∙ x
+ 0,5
+
2x∙c
- 
+
,
т.е.
y
= 
(
-
) – c
∙ x
Найдем особое решение:
F(x
,y
,y′)
= y
– 0,5 
- 2x∙y′
-
= 0
Дифференцируем по y′:
∂F/∂y′ = -y′-2x =0, т.е. –y′ = 2x,
тогда
y
= -2 
,
т.е.
y
= -
– особое решение.