§ 17. Операции над непрерывными функциями

Теорема 1. Пусть функции и определены в точке и некоторой ее окрестности. Тогда, если функции и непрерывны в точке , то функции , будут также непрерывны в точке . Кроме того, если , то функция непрерывна в точке .

Доказательство. Пусть функции и определены в и непрерывны в точке . Тогда и . Из соответствующих свойств предела функции в точке получаем:

;

;

.

О тсюда следует, что функции , и непрерывны в точке .

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , где – значение функции в точке ( ), тогда сложная функция будет непрерывна в точке .

Доказательство. Нужно доказать: .

По условию, функция непрерывна в точке . Это значит: . То, что , одновременно означает . Тогда:

.

Т аким образом, получили: , следовательно, функция непрерывна в точке .

§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 1. Пусть функция определена на множестве . Наибольшим значением функции называется такое число , что для любого и для любого существует : .

Обозначение: .

Определение 2. Наименьшим значением функции на множестве называется такое число , что для любого и для любого существует : .

Обозначение: .

Наибольшее и наименьшее значения могут не достигаться функцией.

Пример.

Рассмотрим функцию на интервале .

Функция убывает, , наименьшее значение 1.

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает различные по знаку значения на его концах, т.е. . Тогда существует хотя бы одно такое, что .

Теорема 3 (о промежуточном значении). Пусть функция непрерывна на отрезке и , . Тогда для любого числа существует такое, что .

Определение 3. Пусть дана функция . Тогда обратной функцией для называется функция : для любого выполняется , где (рис. 15).

Теорема 4. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и является на всем этом отрезке либо возрастающей функцией, либо убывающей. Тогда обратная функция будет непрерывной на отрезке , где – множество значений функции .

§ 19. Производная функции одной переменной

10. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача о скорости движущейся точки

Пусть s = s (t) представляет закон  прямолинейного движения материальной точки.  

Это уравнение выражает путь s, пройденный  точкой, как функцию времени t.  

Обозначим через Δs путь, пройденный за промежуток времени Δt от момента t до t + Δt , т. е. Δs  = s(t + Δt ) - s (t). Отношение  называется средней скоростью точки за время от t до t + Δt.  

Чем меньше Δt, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δt, тем лучше средняя скорость характеризует  движение точки в момент времени t. Поэтому  естественно ввести понятие скорости v в данный  момент t, определив ее как предел средней  скорости за промежуток отt до t + Δt, когда Δt→ 0:  

Величина v называется мгновенной  скоростью точки в данный момент t.

Задача о касательной к данной кривой.  

Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести  касательную к данной кривой в данной точке . 

Так как точка касания дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к  положительному направлению оси Ох (рис.16). Рис.16

Через точки и проведем секущую  

Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей равен отношению — , где Угловой коэффициент касательной к  данной кривой в точке можно найти на  основании следующего определения: Определение 1. Касательной к кривой в точке называется прямая ,  угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда .  Отсюда следует, что

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении этого приращения к нулю:

.

Значение производной функции в какой-либо данной точке обозначается обычно или .

Геометрический смысл производной. Значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Механический смысл производной. Пусть задан путь s = s (t) движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t: v(t)=

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности и дифференцируема в этой точке (т.е. имеет производную). Тогда функция непрерывна в этой точке.

Д оказательство. , следовательно, непрерывна в точке .