3. Топология метрического пространства.
Топологией на мн-ве Х наз. сем-во подмн-в мн-ва Х, удовл-ее след. аксиомам:
1)Если
U
,
то
2)Если
U1
,
U2
,
то U1
U2
3) и Х
Подмн-во, вход-ее в сем-во , наз. открытыми в топологии .
Опр 1. Открытым(замкнутым) шаром с центром в точке x0 радиуса r в метрическом простраранстве (X, ) называется мно-во В(х0, r)={xX|(x, x0)<r}, ( В[х0, r]={xX|(x, x0)r})
Опр2. Мно-во UX, наз. открытым в метр-ом пр-ве (X, ), If для x0U число r >0 такое, что справедливо включение B(x0, r) U.
Предл.1 Откр. шар B(x0, r) явл. открытым мн-вом
Тh1. Пусть А-подмн-во в метр. пр-ве (X, ).Тогда след. св-ва эквив. :
Дополнение X \A есть откр. мн-во т.е.A- замкнуто
АА т.е. А содержит все свои точки прикосновения
3)А=А т.е. совпадает со своим замыканием
Из того что xn A и послед-ть xn-> x0 => что x0A
Опр3. мн-во А Х наз. всюду плотным, если А=Х
Th2. Для отобр. f: (X, x)-> (Y, y) метр. пр-в сл. св-ва эквив:
1) f непр. в т. x0X
2) для посл-ти xn, сходящейся к x0 , посл-ть f(xn) сходится к f(x0).
След-е. Для непрерыв-ти отобр-я f метр. пр-в в т. х0 достаточно, чтобы для посл-ти xn-> x0 посл-ть f(xn) была сходящейся.
Опр 4. Полуметрикой на мн-ве Х наз отобр-е : Х х Х -> R+, удовл-ее след. аксиомам:
1)x=y => (x, y)=0
2) (x, y)= (y,x), x,y X
3) (x, y) (x, z)+ (z, y), x,y,zX
Полуметрич пр-вом наз пара (X, ), где Х – мн-во, - полуметрика на Х.
4. Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пр-в Принцип вложенных шаров.
Доказательства основных теорем математического анализа используют “критерий Коши” – утверждение, что любая числовая последовательность Коши сходится. Рассмотрим взаимосвязь между последовательностями Коши и сходящимися последовательностями в произвольных метрических пространствах.
Т
е о р е м а 1.
.
Обратное утверждение для произвольных метрических пространств неверно.
П р и м е р ы.
1.
Пусть
с метрикой
. Последовательность
является последовательностью Коши, но
не имеет предела в
.
2.
Пусть
- множество рациональных чисел с метрикой
.
Последовательность
является последовательность Коши, но
не сходится в пространстве
.
3.
В
пространстве
рассмотрим последовательность Коши,
заданную следующим образом
Эта последовательность сходится к разрывной функции, и следовательно не имеет предела в пространстве .
4.
На
введем метрику
.
Последовательность
является последовательностью Коши в
этой метрике:
Однако
эта последовательность не сходится,
так как для любого
имеем
О
п р е д е л е н и е 1. Метрическое
пространство
называется
,
если в нем любая последовательность
Коши сходится.
Таким
образом,
- неполные пространства, а пространства
- полные.
Т
е о р е м а 2.
.
4. Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пр-в Принцип вложенных шаров.
Т
е о р е м а 3.
(принцип
вложенных шаров).
.
П р и м е р ы.
1.
В
пространстве
множества
образуют последовательность замкнутых,
вложенных друг в друга шаров, радиусы
которых стремятся к нулю. Эти шары не
имеют общей точки (нарушении условие
полноты пространства).
В
случае пространства
утверждение теоремы выполнено и без
условия, что
.
Однако для произвольных метрических
пространств это условие существенно.
2.
Пусть
- подпространство в
,
образованное счетным набором элементов
вида
.
В этом пространстве при
имеем
.
Рассмотрим шары
.
Очевидно, что
,
но общей точки эти шары не имеют.
Заметим,
что пространство
полное. Действительно, если
- последовательность Коши в
,
то
для
и, так как
при
,
то
для
и последовательность сходится к
.
Следующая теорема описывает новое, достаточно тонкое свойство полных метрических пространств, которое используется при доказательстве основных теорем функционального анализа. Заметим, что это свойство в стандартных курсах математического анализа не рассматривается даже для пространства .
Т
е о р е м а 4.
(Бэр).
Эквивалентное
утверждение (другую формулировку теоремы
Бэра) получаем, рассматривая дополнения
открытых множеств
.
Т
е о р е м а 5.
(Бэр).
О
п р е д е л е н и е 2. Множество
называется
,
если его замыкание не содержит ни одного
открытого шара.
С
л е д с т в и е 1.
.