Тема 2 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называют событие А+В, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении событий А и В водном испытании.

Вероятность суммы вычисляется согласно теоремам 1 и 2.

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема имеет следствия:

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Следствие 2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий образующих полную группу, равна единице .

Если полную группу событий образуют два единственно возможных события, то они называются противоположными и обозначаются А и , а их вероятности обозначаются и

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: или , тогда .

Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

События А и В называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого, и независимыми в противном случае.

Вероятность произведения вычисляется согласно теоремам 3 и 4.

Теорема 3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что события А уже наступило и вычисляется

Теорема 4. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

Если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности , то события А и В независимы, и применима теорема 3.

Пример 1.Из отдела в центральную бухгалтерию поступило 20 накладных, пять из них оформлены неправильно. Наудачу отбирают две накладные. Найти вероятность того, что среди них:

1. только одна оформлена неправильно;

2. обе оформлены неправильно.

Введем события:

А – {первая взятая накладная оформлена правильно},

В – {вторая взятая накладная оформлена правильно}.

Тогда – {первая накладная оформлена неправильно}, – {вторая накладная оформлена неправильно}. Из условия задачи следует, что А и В зависимы.

1. Событие С – {только одна накладная оформлена неправильно} будет состоять из суммы двух несовместных событий С= Тогда

2. Событие D – {обе накладные оформлены неправильно}, тогда

Пример 2. В центральную бухгалтерию поступили накладные из двух отделов. Из первого 20 накладных, из них 5 оформлено неправильно, из второго – 25 накладных, 6 оформлено неправильно. Берут по накладной из каждого отдела. Найти вероятность того, что среди них:

1. только одна накладная оформлена правильно (событие Е);

2. хотя бы одна накладная оформлена правильно (событие F).

Введем события:

А – {накладная из первого отдела оформлена правильно},

В – {накладная из второго отдела оформлена правильно}.

Отбор ведется из разных отделов, следовательно, А и В независимы.

1. Событие . Его вероятность

2. Вероятность события F найдем, используя вероятность противоположного события – {ни одной накладной правильно не оформлено}.