Решение

а) Построение гистограммы относительных частот (частостей) и плотности распределения f(x) промежутков времени между поступлениями требований на заправку летательных аппаратов топливом.

Выберем из табл. 3 наименьшее значение времени: t_min=15 мин, наибольшее значение t_max = 28 мин.

Определим размах выборки R= t_max - t_min = 28 – 15 = 13 мин.

Для выбора оптимальной величины интервала воспользуемся формулой Стерджеса:

где N – объем выборки (в нашем примере количество требований N = 40)

Для построения гистограммы необходимо построить таблицу, в которой указать:

- интервалы промежутков времени между поступлениями требований на обслуживание;

- частоты событий n_i в этих интервалах, то есть количество значений t_i, которые попадают в i-й интервал;

- относительные частоты W_i (частости) событий в этих интервалах;

- плотность частости W_i/h.

Построим интервалы. Начало первого интервала определяется по формуле:

t_нач1 = t_min – 0,5∙h

t_нач1 = 15 – 0,5·2 = 15-1 = 14 мин.

Конец первого интервала t_кон1 найдем, если прибавим к t_нач1 рассчитанную величину интервала h:

t_кон1 = t_нач1 + h = 14+2=16 мин;

Начало второго интервала совпадает с концом предыдущего:

t_нач2 = t_кон1 =16 мин

Конец второго интервала находим аналогично:

t_кон2 = t_нач2 + h = 16 + 2 = 18 мин

t_нач3 = t_кон2 = 18 мин

t_кон3 = t_нач3 + h = 18 + 2 = 20 мин

t_нач4 = t_кон3 = 20 мин

t_кон4 = t_нач4 + h = 20 + 2 = 22 мин

t_нач5 = t_кон4 = 22 мин

t_кон5 = t_нач5 + h = 22 + 2 = 24 мин

t_нач6 = t_кон5 = 24 мин

t_кон6 = t_нач6 + h = 24 + 2 = 26 мин

t_нач7 = t_кон6 = 26 мин

t_кон7 = t_нач7 + h = 26 + 2 = 28 мин

t_нач7 = t_кон8 = 28 мин

t_кон8 = t_нач7 + h = 28 + 2 = 30 мин

Запишем рассчитанные интервалы в табл. 2 (первый столбец):

Табл. 2

Частичные интервалы, мин	Частота, ni	Относительная частота (частость), Wi	Плотн ость частости, Wi/h
14 –16	11	0,275	0,138
16 – 18	9	0,225	0,113
18 – 20	7	0,175	0,088
20 – 22	5	0,125	0,063
22 – 24	4	0,1	0,050
24 – 26	2	0,05	0,025
26 – 28	1	0,025	0,013
28 – 30	1	0,025	0,013

Определим количество промежутков времени между поступлениями, которые попадают в каждый интервал в отдельности, то есть интервальные частоты n_i события. При этом, просматривая результаты наблюдений в табл.3, определяем, сколько значений признака (промежутков времени между поступлениями) попало в каждый конкретный интервал. В интервал включают значения признака, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границе.

Аналогично считаем количество значений промежутков времени между поступлениями, которые попадают во второй, третий и другие интервалы. Результаты запишем в табл.2 (второй столбец).

Рассчитаем относительную частоту события по формуле:

W_i = n_i/N,

где N – общее количество наблюдений (требований), в нашем примере N=40.

Для первого частичного интервала: W₁ = 11/40=0,275

Для второго интервала: W₂ = 9/40=0,225.

Для третьего интервала: W₃ = 7/40=0,175.

Для четвертого интервала: W₄ = 5/40=0,125.

Для пятого интервала: W₅ = 4/40= 0,1.

Для шестого интервала: W₆ = 2/40=0,05.

Для седьмого интервала: W₇ = 1/40=0,025.

Для восьмого интервала: W₈ = 1/40=0,025.

Гистограммой относительных частот (частостей) называют ступенчатую фигуру, которая состоит из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы вариант длиной h, а высоты равны отношению W_i/h (плотность частости).

Определим плотность частости для каждого частичного интервала:

для первого: W₁/h=0,275/2=0,1375;

для второго: W₂/h=0,225/2=0,1125;

для третьего: W₃/h=0,175/2=0,0875;

для четвертого: W₄/h=0,125/2=0,0625;

для пятого: W₅/h=0,1/2=0,05;

для шестого: W₆/h=0,05/2=0,025;

для седьмого: W₇/h=0,025/2=0,0125.

для седьмого: W₈/h=0,025/2=0,0125.

По данным табл.2 построим гистограмму относительных частот (частостей) промежутков времени между поступлениями требований на заправку летательных аппаратов топливом (рис.1).

Сгладим ступенчатую гистограмму непрерывной кривой, которая на рис.1 изображена сплошной черной линией. По форме этой линии предполагаем закон распределения непрерывной случайной величины.

Представленная гистограмма хорошо сглаживается экспоненциальной кривой, поэтому можно считать, что промежутки времени между поступлениями требований на заправку самолетов топливом имеют экспоненц иальное распределение, плотность которого описывается формулой:

f(x) = e^-x,

где  - параметр распределения, равный обратному значению математического ожидания, то есть среднему числу требований, поступающих на обслуживание за единицу времени.

Рис.1. Гистограмма относительных частот (частостей) промежутков времени между поступлениями требований на заправку летательных аппаратов топливом

Рассчитаем среднее число требований, для чего сложим все значения промежутков времени между поступлениями требований на заправку летательных аппаратов топливом и полученную сумму поделим на их количество N, то есть 40.

t_cp=(16+18+17+23+15+15+25+16+22+17+15+20+22+23+18+21+21+18+15+15+

+19+17+18+15+15+21+15+28+20+18+15+16+19+17+15+15+24+17+27+17)/40=

=18,5 (мин)

Тогда интенсивность требований равна:

=1/t_cp = 1/18,5 (1/мин)

Плотность распределения промежутков времени между поступлениями требований на обслуживание описывается законом:

б) Определим математическую модель процесса заправки топливом.

Системы массового обслуживания характеризируют набором символов x|y|s, где х – тип потока требований, у – распределение времени обслуживания, s – число обслуживающих аппаратов.

Требования на заправку самолетов топливом образуют пуассоновский поток, который является потоком без последействия, его обозначают буквой М.

По условию задачи, время заправки распределено по экспоненциальному закону со средним значением t_ср.зап = 19 мин, поэтому данное распределение также обозначаем буквой М.

Тогда математическая модель процесса заправки самолетов топливом будет иметь вид: М|М|s.

в) Подсчитаем количество топливозаправщиков s, которое необходимо иметь, что бы количество летательных аппаратов, заправленных за время стоянки на перроне, равное 1 часу, было не менее 85%.

Количество требований, которое поступает за одну минуту равно:

=1/t_cp = 1/18,5 (1/мин)

Тогда за время t_ср.зап = 19 мин (среднее время одного обслуживания по условию задачи) поступает количество требований, равное:

t_ср.зап∙ = 19/18,5≈1,027

Следовательно, минимальное количество аппаратов, при котором пропускная способность обслуживающей системы выше интенсивности потока требований, равна 2.

Интенсивность обслуживания:

Рассчитаем коэффициент загрузки:

Вероятность того, что полное время пребывания требования в системе (то есть ожидание самолетом заправки плюс время заправки) было не меньше времени t (по условию задачи t = 1 час = 60 мин) рассчитывается по формуле (с учетом того, модель системы массового обслуживания имеет вид М|М|s):

где Р₀ – вероятность того, что в системе нет требований на обслуживание, R₀ – вероятность того, что требованию не придется ожидать начала обслуживания. Для системы массового обслуживания вида М|М|s данные вероятности рассчитываются по формуле:

Подставим данные задачи в приведенные выше формулы:

Тогда: