1.3. Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

(f(x)dx)^/ = f(x)

Це випливає з означееня 1.2, оскільки f(x)dx = F(x) + C, a (F(x) + C)^/ = f(x)

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

d(f(x)dx) = f(x) dx

3. Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої С:

dF(x) = F(x) + C

Доведення. Відомо, що dF(x) = F^/(x)dx = f(x)dx. Інтегрування останньої рівності дає

 dF(x) =  f(x)dx = F(x) + C.

Приклади. 1)  d(x⁵) = x⁵ + C;

2)  d(sinx) = sinx + C.

4. Сталий множник підінтегрального виразу можна винести за знак інтеграла:

 kf(x)dx = k f(x)dx, (k  0)

Доводиться це за допомогою диференціювання обох частин записаної рівності:

( kf(x)dx)^/ = kf(x); (k f(x)dx)^/ = k( f(x)dx)^/ = kf(x).

5. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій:

(f₁(x) + f₂(x))dx =  f₁(x)dx +  f₂(x)dx.

Доведення. За властивістю 1 маємо:

((f₁(x) + f₂(x))dx)^/ = f₁(x) + f₂(x) і ( f₁(x)dx +  f₂(x)dx)^/ =

= ( f₁(x)dx)^/ + ( f₂(x)dx)^/ = f₁(x) + f₂(x).

Це й доводить властивість. Причому властивість справ-

джується для будь-якого числа доданків.

6. Якщо функція f(x) неперервна на( а , b ), а х =(t) має неперервну похідну  ^/ (t), то

 f(x)dx =  f((t)^/(t)dt ( 1.2 )

Доведення. Для лівої частини цієї рівності маємо

( f(x)dx)^/_x = f(x),

а для правої ( f((t)^/(t)dt)^/_x = ( f((t))(t)dt)^/_tt^/_x =

=f((t))^/(t) = f((t)) = f(x),

оскільки t^/_x = , x^/_t = ^/(t). (ми застосовували похідну складеної й оберненої функцій). З неперервності відповідних функцій випливає існування інтегралів, що входять у рівність (1.2).

4. Таблиця невизначених інтегралів

Формули 1–28 треба знати напам’ять, оскільки більшість інтегралів, що використовуються на практиці, зводяться до інтегралів, які обчислюються за цими формулами.

Формули 19 і 20 називають, відповідно, формулами ”високого” і “довгого” логарифмів.

Кожна з цих формул розглядається на тих проміжках числової прямої R, на яких визначено підінтегральну функцію.Природно, що коли таких проміжків кілька, то стала С для кожного проміжку своя. При інтегруванні загальноприйнято (для скорочення запису) довільну сталу записувати в остаточному результаті, тобто до первісної для даної функції.

Інтеграли, що містяться у наведеній вище таблиці, прийнято називати табличними.

1.5. Основні методи інтегрування

В інтегральному численні задача відшукання невизначеного інтеграла значно ускладнюється тим, що немає правил інтегрування добутку і частки функцій, складної функції.Тому деякі правила не є власне прави-лами інтегрування, а правилами зведення інтегрування одних функцій до інтегрування інших функцій.

1. Безпосереднє інтегрування. Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці інтегралів і основних властивостей невизначених інтегра-лів називається безпосереднім інтегруванням.

Приклад 1.

(3sinx + 5x⁴ – = 3 sinxdx +

+ 5x⁴dx -  + 2 = -3cosx + x⁵ - lnx + 2arctgx + C.

Приклад 2.

(cos +sin )²dx =(cos² + 2sin cos + +sin² )dx= (1 + sinx)dx = dx + sinxdx =x – cosx + C.

Приклад 3.

 tg²xdx = (sec²x – 1)dx = tgx –x + C.

2. Інтегрування заміною змінної (метод підстановки).

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дозволяє звести знаходження даного інтеграла до знаходження табличного інтеграла, тобто перейти до безпосереднього інтегрування. Такий метод називається методом заміни змінної або підстановки.Він грунтується на властивості 6.

 f(x)dx =  f((t))^/(t)dt (1.3)

Цю формулу називають формулою заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Приклад 1. Обчислити інтеграл:



Розв’язання. Покладемо x – 1 = t, тоді x = t + 1 і dx = dt. За формулою (1.3).

 =  =  (t + 3 + + )dt =

= t² + 3t + 3lnt - + C =

= (x-1)² – 3(x – 1) + 3lnx - 1 - + C.

Зауваження. При заміні змінної в невизначеному інтегралі іноді зручніше задавати не х як функцію від t, а, навпаки, t як функцію від х.

Приклад 2. Обчислити інтеграл:



Розв’язання. Покладемо x⁵ + 7 = t, dt = 5x⁴dx, тоді

Зауважимо, що вдачно вибрати підстановку не так то вже й просто. Значно полегшує це володіння технікою диференціювання і знання табличних інтегралів.

Приклад 3. Обчислити інтеграл:

Розв’язання. Покладемо , звідки

+ 1)dx = dt і

dx = . Тоді

3. Метод інтегрування частинами.

.

Метод інтегрування частинами грунтується на використанні формули диференціювання добутку двох функцій.

Нехай U = U(x) i V = V(x) – функції диференційованні для відповідних х.

Тоді d(UV) = VdU+ UdV, звідки UdV = d(UV) – VdU.

Зінтегруємо останню рівність, беручи до уваги властивість 3 інтегралів.

Дістаємо

UdV = UV - VdU (1.4)

Це формула інтегрування частинами. Вона застосовується тоді, коли інтеграл VdU не складніший від інтегралу UdV.

Приклади. Зінтегрувати частинами.

Розв'язання.

1)

Покладемо u=x . dv=e^xdx , тоді du=dx , v=  e^xdx=e^x ,

й, отже, за формулою (1.4) маємо

2)

Іноді доводиться застосувати інтегрування частинами декілька разів.

3) Знайти інтеграл:

 e^xsinxdx = I.

Розв’язання. Нехай u = e^x, dv = sinxdx, тоді du = e^xdx,

v = -cosx, й,отже, маємо

I = -e^xcosx +  e^xcosxdx.

Здається, що інтегруванням частинами ми не досягли мети, оскільки інтеграл не спростився. Спробуємо ще раз зінтегрувати частинами:

u = e^x, dv = cosxdx, звідси du = e^xdx, v = sinx . Тоді

I = -e^xcosx + (e^xsinx – I), тобто I = -e^xcosx + e^xsinx – I.

У правій частині отримали вихідний інтеграл. Маємо рівняння з невідомим інтегралом І. З цього рівняння знаходимо

2I = -e^xcosx + e^xsinx, a звідси I = e^x(sinx – cosx) + C.

У прикінцевому результаті ми додали до знайденої первісної функції довільну сталу С .

Саме методом інтегрування частинами можна проінтегрувати цілий ряд функцій, в яких lnx, arcsinx, arctgx є множниками.

Метод інтегрування частинами часто спрощує обчислення інтеграла і в тому випадку, коли даний інтеграл можна знайти, наприклад, методом підстановки.

Загалом розумне поєднання різних методів може значно спростити і прискорити обчислення інтегралів. Наприклад, перед тим як проінтегрувати частинами, інколи доцільно в підінтегральному виразі виконати підстановку, яка й спростить його. І саме головне вдало вибрати u i dv.

Приклад 4.

Знайти інтеграл  xln(4 + x⁴)dx.

Розв’язання. Покладемо t = x², тоді dt = 2xdx, i

 xln(4 + x²)dx =  ln(4 + t²)dt =

ln(4 + t²) = u , dt = dv

= du = , v = t = (tln(4 + t²) - =

= ln(4 + t²) -  dt = ln(4 + t²) -  dt + 4 =

= ln(4 +t²) – t + 2arctg +C = ln(4 + x⁴) – x² +

+ 2arctg + C.