24. Пряма пропорційна залежність

Задача. Три метри тканини коштують 60 грн. Скільки коштують 6 м цієї ж тканини?

Знайдіть два способи розв’язання задачі.

І спосіб

1) 60 : 3 = 20 (грн.) — коштує 1 м тканини.

2) 20 · 6 = 120 (грн.) — коштують 6 м тканини.

Іі спосіб

1) 6 : 3 = 2 — у скільки разів збільшилося тканини.

2) 60 · 2 = 120 (грн.) — коштують 6 м тканини (вартість збільшилася удвічі).

Відповідь. 120 грн.

Розв’язуючи задачу другим способом, ми міркували так:

а) вартість тканини за сталої ціни залежить від кількості метрів тканини (тобто між вартістю тканини та її кількістю існує залежність);

б) ця залежність має таку властивість: у скільки разів збільшується кількість метрів тканини, у стільки ж разів збільшується її вартість; якщо кількість метрів тканини зменшується, то у стільки ж разів зменшується її вартість.

Залежність між величинами, що мають таку властивість, називають прямо пропорційною залежністю.

Залежність двох величин називають прямо пропорційною, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї величини у кілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) інша величина.

У розв’язанні задачі йдеться про дві величини, залежність між якими є прямо пропорційною, або про дві прямо пропорційні величини: кількість метрів тканини та їх вартість.

3 м тканини коштують 60 грн., або трьом метрам тканини відповідає вартість 60 грн. А шести метрам тканини відповідає вартість 120 грн. З означення прямо пропорційної залежності випливає, що відношення кількостей метрів тканини дорівнює відношенню відповідних значень їх вартостей , тобто .

Отже, якщо дві величини є прямо пропорційними, то відношення значень однієї величини дорівнює відношенню відповідних значень іншої величини.

Прочитайте

Розв’язати задачі за допомогою пропорції.

1. З 10 кг яблук виходить 8 кг яблучного пюре. Скільки яблучного пюре вийде із 44 кг яблук?

 Нехай із 44 кг яблук виходить х кг пюре. Запишемо умову задачі у вигляді такої схеми:

10 кг    8 кг;

44 кг    х кг.

(Цю схему будемо розуміти так: 10 кг яблук відповідає 8 кг пюре, 44 кг яблук відповідає х кг пюре.)

Маса яблук і відповідна маса яблучного пюре є прямо пропорційними, бо у скільки разів більше ми візьмемо яблук, у стільки ж разів більше отримаємо яблучного пюре.

За властивістю прямо пропорційних величин запишемо пропорцію:

Звідки х = 35,2 (кг)  маса пюре.

Відповідь. 35,2 кг. 

2. Відстань між Києвом і Тернополем дорівнює 360 км. Яка відстань між цими містами на карті з масштабом 1 : 5 000 000?

 Оскільки масштаб карти 1 : 5 000 000, то 1 см на карті відповідає 5 000 000 см = 50 км на місцевості. Нехай відстань між Києвом і Тернополем на карті дорівнює х см. Тоді:

1 см  50 км;

  х см  360 км.

Відстань на місцевості прямо пропорційна відстані на карті.

Тому звідки  = 7,2 (см).

Відповідь. 7,2 см. 

3. Сплав складається з міді, цинку і нікелю, маси яких відносяться як 13 : 3 : 4. Знайти масу сплаву, якщо для його виготовлення використали 1,8 кг цинку. (Відношення 13 : 3 : 4 означає, що у сплаві на мідь припадає 13 частин, на цинк — 3 таких же за масою частини та на нікель — 4 частини.)

 Сплав складається з 13 + 3 + 4 = 20 частин, з яких на цинк припадає 3 частини. Нехай маса сплаву дорівнює х кг. Тоді: