1.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение

. (1.6)

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив .

Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р' = f(x). Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у' = р(х). Получим общее решение заданного уравнения (1.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как уравнение (1.6) можно записать в виде . Тогда, интегрируя уравнение , получаем: , или .

Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: , т.е. - общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение

,

то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение уравнения:

.

Пример 1.1. Решить уравнение .

Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим:

,

,

,

.

2. Пусть дано уравнение

, (1.7)

не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у' = р, где р = р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у" = р' и уравнение (1.7) принимает вид р'=f(x;p). Пусть - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у', получаем ДУ:

.

Оно имеет вид (1.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (1.7) будет иметь вид

.

Частным случаем уравнения (1.7) является уравнение

, (1.8)

не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом:

, . Получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида

, (1.9)

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив . Тогда ;…; и уравнение (1.9) примет вид .

Частным случаем уравнения (1.9) является уравнение

,

или

.

С помощью замены , это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример 1.2. Решить уравнение .

Решение: Полагаем , где , .

Тогда: . Это уравнение с разделяющимися переменными:

, .

Интегрируя, получим , , . Возвращаясь к исходной переменной, получим , - общее решение уравнения.

3. Рассмотрим уравнение

, (1.10)

которое не содержит явно независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая у' = р. Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что :

,

т. e. . Теперь уравнение (1.10) запишется в виде .

Пусть является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию на , получаем - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (1.10):

.

Частным случаем уравнения (1.10) является ДУ

.

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: , .

Так же поступаем при решении уравнения . Его порядок можно понизить на единицу, положив , где . По правилу дифференцирования сложной функции находим . Затем найдем:

и т. д.

Замечание. Уравнение (1.8) также можно решать, применяя подстановку у' = р, где р = р(у).

Пример 1.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , .

Решение: Уравнение имеет вид (1.10). Положив , получаем:

.

Так как (иначе что противоречит начальному условию ), то

- получили линейное ДУ первого порядка.

Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 2.4). Полагаем . Имеем: , или .

Подберем функцию v так, чтобы . Тогда , .

Получаем:

, т.е. .

Интегрируя это равенство, находим, что .

Следовательно,

, или .

Заменяя на , получаем: . Подставляя и в это равенство, находим :

, .

Имеем . Отсюда . Находим из начальных условий: , . Таким образом, - частное решение данного ДУ.