Проверка статистических гипотез

Информация, полученная на основе выборки из некоторой генеральной совокупности может быть использована для предположения относительно некоторых свойств общей генеральной совокупности.

Пусть получена некоторая оценка по выборке из N элемента, которая относится к некоторым независимым величинам х₁, х₂, х₃, ..., х_n.

Тогда можно предположить, что истинное значение параметра . Тогда вполне очевидно, можно предположить, что от выборки к выборке значение будет изменяться. Это связано со статистическою изменчивостью.

Возникает следующий вопрос — при каком отклонении оценки от гипотеза о равенстве должна быть отвергнута как несостоявшаяся.

Ответ на этот вопрос можно дать, вычислив вероятность любого значимого отклонения от , по выборочному распределению с оценкой .

Если вероятность такого отклонения мала, то следует считать отличия истинного параметра и гипотеза о равенстве должна отвергаться.

В свою очередь вероятность такого отклонения можно понимать как естественную статистическую изменчивость. И гипотеза о равенстве может быть принята.

Статистическая гипотеза H — некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности, из которых была получена соответствующая выборка.

Параметрические гипотезы – предположения, в которых по выборке наблюдений необходимо проверить параметры распределения.

Проверяемая параметрическая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н₀. Наряду с гипотезой Н₀ рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез Н₁. Например, если проверяется гипотеза Н₀ о равенстве параметра , то в качестве гипотезы Н₁ может быть выбрана одна из гипотез: . Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретно формулировкой задачи.

Путём статистической проверки необходимо установить, насколько данные, полученные из выборки, согласуются с выбранной гипотезой. Процедура проверки гипотезы – это правило, по которому гипотеза принимается или отвегается. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀, называется статистическим критерием К. К – это подходящая функция выборочных данных, которая определяется выборкой и выдвинутой гипотезой Н₀.

В качестве статистистики Z критерия К выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра , т.е. .

Заметим, что абсолютно надёжное решение относительно проверяемой гипотезы получить нельзя. Необходимо заранее допустить возможность ошибочного решения. Для этого перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости. Уровень значимости – вероятность принять ошибочную гипотезу (это достаточно малая величина, при которой в данной задаче соответствующее событие можно считать практически невозможным).

Затем устанавливают область, вероятность попадання значения статистического критерия в которую в случае справедливости гипотезы Н₁ равна , т.е. эти значения являются невозможными. Эта область называется критической. Если вычисленное по выборке значение статистического критерия попадает в критическую область, то гипотеза Н₀ отвергается, в противном случае – нет оснований для отклонения гипотезы. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками.