Квадратурная формула Гаусса (частный случай квадратурной формулы н.А.С.Т. При )
Не ограничивая общности, будем считать,
что отрезок интегрирования
,
,
,
.
Будем строить квадратурную формулу
вида:
(8).
Квадратурную формулу Гаусса будем
строить исходя из алгоритма, вытекающего
из теорем 1 – 3. В соответствии с первым
пунктом надо построить алгебраический
многочлен
ортогональный с весом
на
многочлену
степени
.
Условие (4)
.
С этой целью введём обозначение:
(9).
Сразу заметим, что
(10).
(11).
Если мы построим
и продифференцируем её
раз, то получим
.
Будем вычислять
с помощью формулы интегрирования по
частям:
.
(12).
Потребуем, чтоб выполнялось условие
ортогональности (4), то есть
правая часть равенства (12)
обращалась в ноль. Заметим, что при
правая часть равна нулю в силу равенства
(10). В силу произвольности
многочлена
,
правая часть равенства (12) при
обязана быть равна нулю. То есть
(13).
Определение. Точка
называется корнем функции
кратности
,
если сама функция в этой точке равна
нулю
,
а так же и
,
а
.
Поэтому, из этого определения из формул
(10), (11) и (13) следует,
что в точках
и
функция
,
обладает корнями кратности
.
Поскольку сама функция
является алгебраическим многочленом
степени
,
его можно представить в виде:
,
где
подлежащая определению.
Из формулы (11) следует, что
(14).
Константу
найдём из требования, чтоб коэффициент
при старшей степени
многочлена
был равен единице (смотри формулу (5)).
Коэффициент при старшей степени
в правой части формулы (14) равен:
,
подставляя в (14) находим:
(15).
Искомый многочлен носит название многочлена Лежандра -й степени на отрезке .
Корни этого многочлена на основании
теоремы 3. В силу того, что весовая функция
,
то все корни
многочлена Лежандра (15) вещественны,
различны и лежат внутри отрезка
,
поэтому найденные любыми известными
методами, например, методом половинного
деления, МПИ, методом хорд, методом
касательных, эти корни могут быть взяты
в качестве узлов квадратурной формулы
(8).
Коэффициенты квадратурной формулы (8)
по известным узлам можно вычислить с
помощью формулы (3):
,
(16).
Таким образом имеем:
(17) – квадратурная формула Гаусса
на
,
где
вычисляются по формуле (16), а
- корни многочлена Лежандра. Алгебраическая
степень точности данной квадратурной
формулы равна
.
Остаточный член формулы (17)
получается как частный случай формулы
(6), в которой в качестве веса
,
а
и в качестве многочлена выступает
многочлен Лежандра.
Замечание 1. Из формул для нахождения узлов и коэффициентов формулы Гаусса видно, что они не зависят от подынтегральной функции и от отрезка интегрирования. То есть узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса заранее вычислены и при небольших приведены в специальной литературе.
Замечание 2. Квадратурная формула Гаусса на произвольном отрезке имеет вид:
(18), где
, вычисляются по формуле (16), а - корни многочлена Лежандра -й степени на отрезке .