3.1.2. Основные законы электрической цепи

В 1847 году немецкий естествоиспытатель Густав Роберт Кирхгоф (1824 – 1887) экспериментально установил законы, которые лежат в основе анализа электрических цепей (более верно было бы их называть аксиомами).

В теории электротехники обычно принята следующая формулировка первого закона Кирхгофа.

Алгебраическая сумма токов, сходящихся к любому узлу электрической цепи, тождественно равна нулю в любой момент времени

(3.1)

Токи, направленные к узлу, записывают в уравнение (3.1) со знаком «плюс», а токи, направленные от узла, – со знаком «минус».

Заметим, что классическая формулировка первого закона Кирхгофа вызывает серьезные затруднения при определении токов многополюсных компонентов. В трехполюсном компоненте Q0, например, нет узла, поэтому нельзя судить о том, как связаны токи выводов этого компонента.

Приведем другую формулировку первого закона Кирхгофа в большей степени отражающий его суть – сохранение заряда.

Отделим замкнутой поверхностью произвольный участок цепи, как это показано на рис.3.1 справа. Эта поверхность разделит цепь на два фрагмента: на участок цепи который лежит внутри поверхности и вне ее. Выводы и направления токов через эту поверхность показаны стрелкой.

Первый закон Кирхгофа в новой формулировке будет таким.

Алгебраическая сумма токов, протекающих через замкнутую поверхность, разделяющую произвольную цепь на два фрагмента, внутренний и внешний, будет равна нулю в любой момент времени.

Теперь, если выводы трехполюсного компонента Q0 мысленно окружить замкнутой поверхностью, то тогда на основании первого закона Кирхгофа в последней формулировке можно утверждать, что в любой момент времени алгебраическая сумма токов, протекающих через выводы, будет равна нулю.

Классическая формулировка второго закона Кирхгофа звучит следующим образом.

Алгебраическая сумма напряжений на всех элементах, находящихся в цепочках ветвей контура, тождественно равна нулю в любой момент времени.

Такая формулировка не учитывает тот факт, что в ветвях могут находиться идеальные источники тока, у которых напряжение на выводах неизвестно. Представляется более строгой формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС источников, включенных в ветвях любого контура электрической цепи, равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах того же контура в любой момент времени

(3.2)

При записи уравнения (3.2) знаки ЭДС и напряжений определяются выбранным направлением обхода контура.

ЭДС и напряжение записывается в уравнение со знаком «плюс», если их направления совпадают с выбранным направлением обхода контура.

Заметим, что контур не обязательно должен быть простым. Если взять произвольные точки электрической цепи (это важно для многополюсных компонентов) и считать их вершинами многоугольника, то второй закон Кирхгофа будет выполняться для любого замкнутого контура, проведенного по вершинам многоугольника. Для цепи, показанной на рис.3.1, вершинами многоугольника можно взять узлы 2, 4, 3, 5. Тогда при направлении обхода против часовой стрелки можем записать

3.2.Соединения элементов цепи и их свойства

3.2.1. Последовательное соединение элементов цепи

Последовательным называют такое соединение фрагментов (участков) цепи или отдельных ее элементов, в котором ток через все участки цепи и элементы одинаков по величине и направлению.

Представим последовательное соединение элементов цепи в виде эквивалентного двухполюсника. Схема последовательного соединения трех элементов, включенных в одну ветвь, и эквивалентный двухполюсник, которым мы хотим заменить цепь, показаны на рис.3.2.

На основании второго закона Кирхгофа для цепи имеем

(3.3)

или, в общем случае

(3.4)

Напряжение и ток на выводах эквивалентного двухполюсника, которым мы хотим заменить цепь, связаны законом Ома

(3.5)

Рис.3.2. Последовательное соединение элементов цепи

Сравнивая (3.4) и (3.5) находим

(3.6)

Таким образом, комплексное сопротивление последовательного соединения элементов равно сумме комплексных сопротивлений всех элементов, образующих соединение.

Из (3.3) несложно заметить, что последовательное соединение «делит» входное напряжение между элементами цепи.

Два последовательно соединенных элемента образуют простейший делитель напряжения (рис.3.3). Говорят, что он состоит из двух «плеч»: нижнего и верхнего. При этом напряжение на зажимах всей цепи рассматривают как входное, а на нижнем плече делителя, как выходное.

Для анализируемой цепи при гармоническом входном сигнале амплитуда напряжения на нижнем плече делителя равна

(3.7)

Соотношение(3.7) определяет важное свойство простейшего делителя напряжения, которое следует запомнить:

амплитуда напряжения на интересующем нас плече делителя напряжения равна амплитуде входного напряжения, умноженной на сопротивление интересующего плеча делителя и деленной на сумму сопротивлений плеч делителя.

Отношение сопротивлений определяет коэффициент деления Kd, показывающий во сколько раз амплитуда напряжения на выходе будет меньше чем на входе

Рис.3.3. Простейший делитель напряжения и его реализация с помощью переменного резистора

В цепях постоянного тока, где плечи уменьшают потенциал (рис.3.3), делители напряжения называют потенциометрами.

Переменный резистор может выполнять функцию делителя напряжения с переменным коэффициентом деления Kd(α). Величина Kd(α) зависит от угла поворота α ручки резистора.

Рассмотрим случай, когда переменный резистор (рис.2.19), состоящий из резистивного элемента (на рис.3.3 условно показан прямоугольником) и перемещающейся по нему контактной щетки (на рис.3.3 условно показана стрелкой) «делит» постоянное напряжение U_ВХ. При расположении контактной щетки, показанном на рис.3.3, переменный резистор состоит как бы из двух плеч. Верхнее плечо определяется сопротивлением участка резистивного элемента R₁ нижнее плечо – R₂. В соответствии с (3.7) для переменного резистора можно записать

(3.8)

Вращая ручку переменного резистора и перемещая, тем самым, положение контактной щетки, можно добиться, чтобы Kd(α)=1 и напряжение с входа полностью передавалось на выход, и, наоборот, Kd(α)=0, чтобы напряжение на выход не поступало. Действительно, в самом верхнем положении контактной щетки

В нижнем положении контактной щетки