§ 9.3. Ортогональные преобразования квадратичных форм.

Матрица квадратичной формы при переходе к новому базису изменяется по формуле , где - матрица перехода от базиса к базису. Если рассматривать евклидово пространство, в котором старый и новый базис выбраны ортонормированными, то матрица перехода является ортогональной и мы имеем дело с ортогональным преобразованием квадратичной формы, т. е. преобразованием , в котором - ортогональная.

Теорема. При ортогональном преобразовании квадратичной формы характеристическое уравнение ее матрицы не меняется.

Доказательство. Пусть - матрица заданной квадратичной формы. При ортогональном преобразовании эта матрица изменяется по формуле , в котором - ортогональная матрица. Ортогональная матрица имеет обратную, причем , следовательно, , т. е. матрицы и подобны, а характеристические уравнения подобных матриц совпадают. Теорема доказана.

Теорема. Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Доказательство. Матрица данной квадратичной формы является симметрической. Любая симметрическая матрица подобна диагональной, т. е. существует такая невырожденная матрица , что , причем - диагональная матрица.

Надо убедиться, что в качестве матрицы можно выбрать ортогональную. Тогда будет выполняться равенство и диагональная матрица является матрицей квадратичной формы, полученной из исходной при помощи ортогонального преобразования. Диагональный вид матрицы равнозначен каноническому виду квадратичной формы.

Рассмотрим произвольное линейное -мерное евклидово пространство ( - количество переменных в квадратичной форме) и некоторый ортонормированный базис в этом пространстве. Матрица является матрицей некоторого самосопряженного оператора в базисе , следовательно, существует ортонормированный базис , что матрица оператора в этом базисе является диагональной. По формуле преобразования матрицы линейного оператора , где - матрица перехода от базиса к базису . Так как оба базиса ортонормированные, то - ортогональная матрица. Теорема доказана.

Диагональными элементами матрицы квадратичной формы канонического вида, получающейся в результате ортогонального преобразования, являются собственные значения матрицы квадратичной формы. Поэтому матрицу канонического вида можно записать, не находя соответствующего ортогонального преобразования.

Находя ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, мы ищем базис из собственных векторов соответствующего самосопряженного оператора.

П р и м е р. Привести квадратичные формы и к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Решение. 1) Запишем матрицу квадратичной формы, составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения, которые равны . Можем записать канонический вид, к которому приводится квадратичная форма ортогональным преобразованием: . 2) Для построения ортогонального преобразования найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям и матрицы квадратичной формы. Из однородной системы уравнений при находим собственный вектор . Тогда вторым собственным вектором , соответствующим и ортогональным , будет вектор . Нормировав эти векторы, составим матрицу ортогонального преобразования , столбцами которой будут координаты нормированных векторов, т. е. . Этой матрице соответствует линейная замена переменных , при помощи которой данная квадратичная форма приводится к каноническому виду .

Теорема. Пусть - самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве . Функция , определенная на пространстве , является квадратичной формой. Верно и обратное: для любой квадратичной формы на евклидовом пространстве существует такой самосопряженный оператор , что , причем этот оператор определен однозначно.

Доказательство. В ортонормированном базисе скалярное произведение двух произвольных векторов и может быть записано в виде , где - матрица Грама системы векторов . С учетом этого и самосопряженности оператора имеем: , где - столбец координат вектора , - матрица оператора . Таким образом, получили матричную запись некоторой квадратичной формы.

Пусть . Возьмем самосопряженный оператор , который в базисе имеет матрицу . Тогда . Для доказательства единственности рассмотрим два различных самосопряженных оператора и , имеющих матрицы и соответственно, таких, что для произвольного вектора евклидова пространства . Запишем это равенство в координатах: . Оно является равенством многочленов второй степени относительно переменных. Все коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях переменных равны, т. е. матрицы и равны, поэтому равны и операторы и . Теорема доказана.

Определение. Матрица А называется ортогональной, если ее обратная совпадает с транспонированной, т. е. А^-1=А^Т

Определение. Матрица А^⃰, комплексно сопряженная с транспонированной к матрице А, называется сопряженной с А.

Определение. Матрица называется унитарной, если обратная к ней совпадает с сопряженной.

Теорема. Для того, чтобы квадратная невырожденная матрица представлялась в виде произведения левой унитреугольной диагональной матрицы и правой унитреугольной, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых подматриц были отличны от нуля. Такое представление однозначно.

Доказательство. Необходимость. Пусть , , причем . Пусть , , , , , и . Тогда и в силу невырожденности матрицы А. Поэтому , . Очевидно, что , откуда следует, что .

Достаточность. Применим метод математической индукции по матрицам , , …, , …, . При утверждение теоремы тривиально. Пусть теорема верна и для . Покажем, что это утверждение верно и для . Разобьем матрицы , , , на клетки следующим образом: , , , , где , , - неизвестная строка в матрице , - неизвестный столбец в матрице . Учитывая, что , по правилу умножения блочных матриц получим: , , , , В силу индуктивного предположения , , можно считать известными, определенными однозначно и обратимыми. Тогда однозначно определяются , и . Осталось показать, что . Это необходимо для обратимости . Из равенства следует, что , следовательно, . Теорема доказана.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма с невырожденной матрицей могла быть приведена к каноническому виду преобразованием переменных с верхней унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц были отличны от нуля.

Доказательство. Пусть - невырожденная матрица квадратичной формы, допускающей унитреугольное преобразование к канонической форме. Тогда , где - правая унитреугольная матрица, - левая унитреугольная матрица. Из предыдущей теоремы следует необходимость того, что все определители верхних угловых субматриц отличны от нуля.

Если все угловые субматрицы отличны от нуля, то в обозначениях предыдущей теоремы . Матрица является симметричной, поэтому

.

В силу однозначности разложения , т.е. . Это означает, что квадратичная форма приводится к каноническому виду посредством линейного преобразования с правой унитреугольной матрицей , Теорема доказана.