3.3. Неравенство Коши-Буняковского.

Теорема. Для любых векторов , произвольного евклидового пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:

. (3.3)

Доказательство. А. Если один из векторов , является нулевым, то обе части в (3.3) равны нулю и утверждение справедливо. Б. Пусть , . Тогда , R выполняется неравенство . Преобразуем левую часть последнего неравенства: .

Получили квадратный трехчлен относительно вещественного параметра . Этот трехчлен неотрицательный для любого , следовательно дискриминант уравнения меньше нуля, т. е. , т. е. . Объединяя оба рассмотрен случая, придем к доказываемому неравенству. Теорема доказана.

В случае линейного арифметического п-мерного пространства неравенство Коши-Буняковского преобразуется в неравенство Коши, которое имеет вид:

.

3.4. Нормированные пространства.

Норма является обобщением длины свободного вектора. Длину вектора в линейном пространстве или можно рассматривать как функцию, определенную на множестве или , которая каждому вектору рассматриваемого линейного пространства ставит в соответствие его длину.

Норму вектора в линейном пространстве иногда называют длиной.

Определение. Заданная на линейном пространстве функция, которая каждому вектору из ставит в соответствие действительное число , называется нормой, если она удовлетворяет аксиомам нормы:

1. , причем , если ;

2. , , R;

3.  неравенство треугольника.

Определение. Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным пространством.

Евклидовы и нормированные пространства являются линейными пространствами с дополнительными структурами: скалярным умножением и нормой соответственно.

Теорема. Всякое скалярное умножение в евклидовом пространстве определяет норму согласно формуле:

. (3.4)

Доказательство. Так как , то функция определена для любого вектора евклидова пространства . Проверим выполнение аксиом нормы:

1. , так как причем , если ;

2. ;

3. из неравенства Коши-Буняковского следует, что или . Тогда . Таким образом, . Теорема доказана.

Введение нормы по формуле (3.4) опирается только на общие свойства скалярного произведения, поэтому норму, определяемую равенством (3.4) называют евклидовой или сферической.

3.5. Ортогональное дополнение.

Любое линейное подпространство Н в линейном пространстве L имеет прямое дополнение такое, что . Такое линейное подпространство не является единственным. Однако евклидово пространство представляет собой особый случай.

Определение. Ортогональным дополнением линейного подпространства Н в евклидовом пространстве Е называется множество всех векторов евклидова пространства, ортогональных каждому из векторов линейного подпространства Н, т. е.

.

Теорема. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве является линейным подпространством в , причем и .

Доказательство. Рассмотрим произвольные векторы и произвольный вектор линейного подпространства . Имеем: , , т. е. и . Следовательно, является линейным подпространством в евклидовом пространстве . Пусть . Этот вектор ортогонален самому себе, так как, с одной стороны, , а с другой,  , т. е. вектор ортогонален любому вектору из . Таким образом, . По свойству скалярного произведения только в том случае, если . Получили, что . Это означает, что .

Пусть  ортонормированный базис в линейном подпространстве . Учитывая, что , дополним базис до базиса во всем евклидовом пространстве векторами . Используя процесс ортогонализации Грама-Шмидта, построим ортонормированный базис во всем евклидовом пространстве. Так как первые т векторов попарно ортогональны и имеют единичную длину, то в процессе ортогонализации их оставим без изменения. Векторы ортогональны каждому из векторов базиса линейного подпространства , поэтому они ортогональны всему подпространству , так как его оболочкой являются векторы . Следовательно, все векторы принадлежат . Рассмотрим произвольный вектор из евклидового пространства и разложим его по базису : , где , , т. е. , следовательно, . Теорема доказана.

Следствие. Каково бы ни было линейное подпространство в евклидовом пространстве , любой вектор евклидового пространства можно представить в виде , где , .

Это утверждение и означает, что .

Определение. Разложение вектора на две составляющие и называется суммой ортогональных проекций вектора на линейные подпространства и . Вектор называется ортогональной составляющей вектора относительно линейного подпространства .