§ 7.2. Матрица линейного оператора.

Пусть задан линейный оператор , т. е. задано линейное преобразование линейного пространства в себя, и система векторов является базисом в . Действие линейного оператора полностью определено, если известны образы векторов базиса. Если вектор имеет в этом базисе координаты , то . Поэтому, зная , , можно найти образ любого вектора линейного пространства .

Обозначим столбцы координат векторов в базисе через , т. е. , . Тогда .

Определение. Матрица , составленная из координатных столбцов векторов , , …, в базисе , называется матрицей линейного оператора в базисе .

П р и м е р. Пусть задан тождественный оператор . В этом случае , , …, ,, поэтому матрицей линейного преобразования будет единичная матрица п-го порядка.

Теорема. Пусть задан линейный оператор . Тогда столбец координат вектора в данном базисе линейного пространства равен произведению матрицы оператора в базисе на столбец координат вектора в том же базисе, т. е. .

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор линейного пространства , координаты которого заданы в некотором базисе , т. е. . Образом вектора будет вектор . Тогда столбец координат вектора в базисе : . Теорема доказана.

Запись называется матричной формой действия линейного оператора в базисе .

Различным операторам и , действующим в линейном пространстве , будут соответствовать различные матрицы в базисе . Любая квадратная матрица п-го порядка является матрицей некоторого линейного оператора, действующего в .

§ 7.3. Преобразование матрицы линейного оператора.

Теорема. Матрицы и линейного оператора , записанные в базисах и линейного пространства , связаны друг с другом соотношением

, (7.3)

где  матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство. Пусть , , , ,  столбцы координат векторов и в базисах и соответственно. Действие линейного оператора в матричной форме в базисе имеет вид: , причем координаты векторов в различных базисах связаны соотношениями: , . Тогда , т. е.  матричная форма записи действия линейного оператора в базисе . Следовательно, . Теорема доказана.

Определение. Квадратные матрицы и п-го порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица такая, что

. (7.4)

Теорема. Если матрицы и подобны, то .

Доказательство. Матрицы и подобны, поэтому существует невырожденная матрица такая, что . По свойству определителей: . Теорема доказана.

Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Матрицы и линейного оператора , записанные в базисах и линейного пространства , связаны друг с другом соотношением , поэтому . Следствие доказано.

Матрица линейного оператора меняется при переходе от базиса к базису, а определитель ее остается неизменным.

Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в каком-либо базисе.

П р и м е р. Рассмотрим линейный оператор, переводящий трехмерное векторное пространство в себя, т. е. , такой, что . Координаты векторов и заданы в ортонормированном базисе , , . Тогда . Матрица линейного оператора в этом же базисе : . Определитель этой матрицы равен нулю, следовательно, в любом другом базисе трехмерного векторного пространства определитель матрицы этого оператора равен нулю.