Тема 2. Принятие решений в условиях природной неопределенности

Неопределенность является характеристикой внешней среды (природы), в которой принимается управленческое решение о развитии (или функционировании) экономического объекта. Здесь рассматривают неопределенность «природы», вызванную отсутствием, недостатком информации о действительных условиях (факторах), при которых развивается изучаемый объект. «Природа» может находиться в одном из множества возможных состояний.

Пусть S_j (j= 1,…, п) - состояние «природы», п – число возможных состояний. Все возможные состояния известны, не известно только, какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация принимаемого реше­ния. Будем считать, что множество решений (планов) Р_i также конечно и равно т. Реализация Р_i плана в условиях, когда «природа» находится в S_j состоянии, приводит к определенному результату, который можно оценить, введя количественную меру. В качестве этой меры могут служить выигрыши от принимаемого решения (плана); потери от принимаемого решения, а также полезность, риск и другие количественные критерии.

Данные, необходимые для принятия решения в условиях неопределенности, обычно задаются в форме матрицы , строки которой соответствуют возможным действиям Р_i, а столбцы – возможным состояниям «природы» S_j.

Для выбора альтернативы в условиях неопределенности исполь­зуется ряд критериев, среди которых: критерий Лапласа, крите­рий Вальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица и др.

Критерий Бейеса. При известном распределении вероятностей различных состояний S_j (j= 1,…, п) природы, критерием принятия решения является критерий Бейеса - максимум математического ожидания выигрыша (минимум математического ожидания затрат).

Если вероятности состояния природы S_j равны q_j, q_j>0 и , то выбор i-й стратегии обеспечивает математическое ожидание выигрыша (затрат), равное:

, i= 1,…, m. (3)

Если в исходной матрице результат V_ij представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то среди выбирают максимальное значение, которое соответствует оптимальной стратегии Р_i, т.е

Если в исходной матрице результат V_ij представляет потери (затраты) лица, принимающего решение, то среди выбирают минимальное значение, которое соответствует оптимальной стратегии Р_i,

Критерий Лапласа. Все состояния «природы» S_j полагаются равновероятными, т.е. каждому состоянию S_j ставиться вероятность q_j, определяемая по формуле

. (4)

Для принятия решения, для каждого действия Р_i вычисляют среднее арифметическое значение:

. (5)

Далее выбор оптимальной стратегии аналогичен критерию Бейеса:

, если V_ij - выигрыш (полезность);

, если V_ij - потери (затраты).

Критерий Вальда. Опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку основан на выборе наилучшей из наихудших стратегий Р_i.

Если в исходной матрице результат V_ij представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий:

.. (6)

Если в исходной матрице результат V_ij представляет потери (затраты) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий:

(7)

Оптимальной будет та стратегия Р_i, которой соответствует найденное значение W.

Критерий Сэвиджа. Использует матрицу рисков , элементы которой рассчитываются по формуле:

. (8)

И рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Р_i , при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален):

. (9)

Критерий Гурвица. Основан на предположениях: природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью и в самом выгодном состоянии с вероятностью (1- ), где - коэффициент пессимизма.

. (10)

Значение определяется субъективно лицом принимающим решение, в зависимости от склонности к пессимизму (значение ближе к 0) или к оптимизму (значение ближе к 1).

Если в исходной матрице результат V_ij представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной опираются на выбор:

, (11)

. (12)

Если в исходной матрице результат V_ij представляет потери (затраты) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется критерий:

, (13)

. (14)

Пример 2. В соответствии со спросом на продукцию q-й номенклатуры в городе планируется построить предприятие по производству этой продукции. Неопределенность спроса в период t приводит к тому, что необходимо рассчитать объем выпускаемой продукции S_q, который должен быть не меньше уровня спроса D_q, чтобы не потерять потенциально возможный доход от реализации продукции, а также не должен превышать уровень спроса, так как предприятие будет нести убытки, связанные в основном с уценкой. Предположим, что в течение года (по кварталам) спрос на продукцию q – й номенклатуры выражается величинами 10, 20, 30, 40 тыс. шт. В таком случае и планирующий орган предприятия может принять одно из следующих решений: построить предприятие, которое могло бы удовлетворить спрос потребителей в 10, 20, 30, 40 тыс. шт. q – й продукции. Работа подобных предприятий показывает, что предприятие терпит издержки от нереализованной единицы q – й продукции 5 руб., а доход от реализации единицы продукции составляет 15 руб.

Требуется: 1) придать описанной ситуации игровую схему; установить характер игры и выявить ее участников; 2) вычислить элементы платежной матрицы и составить ее; 3) дать обоснованные рекомендации планирующему органу на строительство предприятия, которое могло бы обеспечить спрос потребителей на q - ю продукцию.

При изучении работы аналогичных предприятий планирующий орган располагает некоторой дополнительной информацией, снижающей неопределенность ситуации: известны вероятности спроса на данную продукцию по кварталам года: 0,3; 0,2; 0,4; 0,1.

Решение. 1) По условиям задачи имеем две конфликтные стороны – два игрока. Один игрок А – это предприятие, которое решает вопрос в каком объеме выпускать продукцию: S_q (предложение).

У этого игрока 4 стратегии:

А₁ – выпускать 10 тыс. шт.,

А₂ – выпускать 20 тыс. шт.,

А₃– выпускать 30 тыс. шт.,

А₄ – выпускать 40 тыс. шт.

Второй игрок В–природа–спрос на выпускаемую продукцию D_q.

У этого игрока тоже четыре стратегии:

В₁ – спрос на 10 тыс. шт. с р₁ = 0,3,

В₂ – спрос на 20 тыс. шт. с р₂ = 0,2,

В₃ – спрос на 30 тыс. шт. с р₃ = 0,4,

В₄ – спрос на 40 тыс. шт. с р₄ = 0,1.

Имеем матричную игру с «природой».

2) Составим платежную матрицу матричной игры (таблица 1.2).

Элемент V₁₁. Этому значению соответствуют стратегии А₁ (предложение составило 10 тыс. шт.) и В₁ (спрос на 10 тыс. шт.). В этом случае вся продукция реализуется, и т.к. за ед. продукции платят 15 руб., то доход составит V₁₁ = (тыс. руб.).

Таблица 1.2

Платежная матрица для примера 2

	В1	В2	В3	В4
	р1 = 0,3	р2 = 0,2	р3 = 0,4	р4 = 0,1
А1	150	150	150	150
А2	100	300	300	300
А3	50	250	450	450
А4	0	200	400	600

В случае активности стратегий А₁ и В₂ (элемент V₁₂) или В₃ (элемент V₁₃), или В₄ (элемент V₁₄) – вся продукция реализуется, значит, предприятие получает по 150 тыс. руб.

Элемент V₂₁. Этому значению соответствуют стратегии А₂ (предложение составило 20 тыс. шт.) и В₁ (спрос только на 10 тыс. шт.). Следовательно, предприятие реализует 10 тыс. шт., и получает за них доход в 150 тыс. руб., а за остальные 10 тыс. шт. несет убытки по 5 руб. за каждую единицу, т.е. убытки составляют (тыс. руб.). Т.о., V₂₁ = (тыс. руб.).

При активности стратегий А₂ и В₂ (предложение и спрос по 20 тыс. шт.), убытки составляют 0 тыс. руб., элемент V₂₂ = = 300 (тыс. руб.).

При активности стратегий А₂ и В₃, А₂ и В₄ –прибыль так же составит по 300 тыс. руб.

Элемент V₃₁. Этому значению соответствуют стратегии А₃ (предложение 30 тыс. шт.) и В₁ (спрос 10 тыс. шт.), т.е. убытки составляют: 20 тыс. шт. по 5 руб. за ед. Следовательно, прибыль (тыс. руб.).

При активности стратегий А₃ (предложение 30 тыс. шт.) и В₂ (спрос – 20 тыс. шт.), предприятие несет убытки: 10 тыс. шт. по 5 руб. за ед. Следовательно, (тыс. руб.).

(тыс. руб.).

(тыс. руб.).

Элемент V₄₁. Этому значению соответствуют стратегии А₄ (предложение 40 тыс. шт.) и В₁ (спрос на 10 тыс. шт.), в такой ситуации предприятие несет убытки: 30 тыс. шт. по 5 руб. за ед.

(тыс. руб.)

(тыс. руб.)

(тыс. руб.)

(тыс. руб.)

3) Критерии. Применение критериев должно осуществляться с учетом, что элементы платежной матрицы v_ij представляют прибыль предприятия.

3.1. Критерий Бейеса (применяем формулу 3):

;

;

;

;

Т.к., в платежной матрице v_ij представляют прибыль предприятия, то выбор оптимальной стратегии состоит в нахождении максимального значения из средних значений прибыли:

, что соответствует стратегии А₃.

3.2. Критерий Вальда (применяем формулу 6):

, т.о., наилучшей стратегией в соответствии с критерием «лучшим из худших» будет А₁.

3.3. Критерий Сэвиджа.

Сначала составим матрицу рисков (применяем формулу 8).

Для этого в 1-м столбце исходной матрицы находим наибольший элемент. Таковым является . Затем из этого элемента вычитаем все элементы 1-го столбца. Полученные результаты записываем в 1-й столбец матрицы рисков R. И т.д.

В результате имеем следующую матрицу рисков R:

.

(применили формулу 9).

Согласно критерию Сэвиджа оптимальными являются стратегии А₃ или А₄.

3.4. Критерий Гурвица.

Для данного критерия примем коэффициент пессимизма . Тогда (применяем формулы 11 и 12):

;

;

;

;

.

По критерию Гурвица следует выбирать стратегию А₄.

Подведем итог. Активные стратегии: по Бейесу А₃; по Вальду А₁; по Сэвиджу А₃ или А₄; по Гурвицу А₄.

Вывод: Однозначного ответа нет. Остановимся на стратегии А₃, которой соответствует максимальная прибыль 290 тыс. рублей.