13. Перевірка гіпотез щодо середньої.

Тестування гіпотез щодо середньої: порівняння середньої зі «стандартом»; порівняння середніх двох сукупностей.

При розв'язанні першого типу задач перевірці підлягає гіпотеза , тобто генеральна середня дорівнює стан­дарту Х₀, а різниця . З такою ситуацією стикаються при контролі якості продукції чи технологічного процесу, коли якість характеризується середнім рівнем. Коли гіпотеза Н₀ істинна, порушення рівності можливе внаслідок дії механізму випадкового добору і влас­тивої йому похибки. Отже, щоб відхилити чи не відхилити гіпо­тезу Н₀, треба перевірити, випадкова чи не випадкова різниця . Ступінь випадковості визначається стандартною похиб­кою вибірки , розмір якої залежить від варіації ознаки і обсягу вибірки: велика вибірка - , мала вибірка ( ) - .

Перевірка гіпотези ґрунтується на використанні нормованого відхилення , де вибіркова середня слугує оцінкою генеральної середньої .

У малих вибірках розподіл вибіркових середніх підпорядковується розподілу Стьюдента. Відповідно гіпотеза перевіряється за допомогою t-тесту, значення якого для α=0,05 і числа ступенів свободи знаходяться з таблиці.

Аналогічна процедура перевірки гіпотез щодо часток розподілу. Слід зазначити, що частка - середня величина бінарної ознаки, яка має лише два взаємовиключні значення (0; 1). Нехай гіпотеза полягає в тому, що частка дорівнює певному нормативу р₀, тобто Н₀: р=р₀. У малих сукупно­стях перевірку гіпотези здійснюють за t-критерієм. Дисперсія частки розрахо­вується за формулою , де р і (1-р) - частки вибіркової сукупності, які відображають наявність і відсутність певної властивості. Стандартна похибка частки визначається за форму­лою: .

При перевірці гіпотези щодо частки статистичною характе­ристикою критерію може бути сама частка р₀. У такому разі для заданого рівня істотності α визначаються межі припустимих значень частки і на їхній основі - критичні точки:

14. Дисперсійний аналіз  являє собою статистичний метод аналізу результатів, які залежать від якісних ознак. Кожен фактор може бути дискретною чи неперервною випадковою змінною, яку розділяють на декілька сталих рівнів (градацій, інтервалів). Якщо кількість вимірювань (проб, даних) на всіх рівнях кожного з факторів однакова, то дисперсійний аналіз називають рівномірним, інакше – нерівномірним. В основі дисперсійного аналізу є такий принцип , якщо на випадкову величину діють взаємно незалежні фактори A, B, …, то загальна дисперсія дорівнює сумі дисперсій, зумовлених дією окремо кожного з факторів:

Задачі дисперсійного аналізу

В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.

Дисперсійний аналіз використовує властивість адитивності дисперсії випадкової величини, що обумовлено дією незалежних факторів. В залежності від числа джерел дисперсії розрізняють однофакторний та багатофакторний дисперсійний аналіз.

Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При класичному методі вивчення змінюють тільки один фактор, а решту залишають постійними. При дисперсійному аналізі кожне спостереження служить для одночасної оцінки всіх факторів та їх взаємодії.

Дисперсійний аналіз полягає у виділенні й оцінюванні окремих факторів, що викликають зміну досліджуваної випадкової величини. При цьому проводиться розклад сумарної вибіркової дисперсії на складові, обумовлені незалежними факторами. Перевірка значимості оцінок дисперсії проводять з допомогою критерію Фішера.

Коли розрахункове значення критерію Фішера виявиться меншим табличного, то вплив досліджуваного фактору немає підстав вважати значимим. Коли ж розрахункове значення критерію Фішера виявиться більшим табличного, то цей фактор впливає на зміни середніх. В подальшому ми вважаємо, що виконуються наступні припущення:

1. Випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл.

2. Фактори впливають тільки на зміну середніх значень, а дисперсія спостережень залишається постійною.

Фактори, що розглядаються в дисперсійному аналізі, бувають 3-х родів:

• з випадковими рівнями, коли вибір рівнів проходить з безмежної сукупності можливих рівнів та супроводжується рандомізацією і рівні вибираються випадковим чином;

• з фіксованими рівнями;

• змішаного типу — частина факторів розглядається на фіксованих рівнях, але рівні решти вибираються випадковим чином.

Дисперсійний аналіз використовує властивість адитивності дисперсії випадкової величини, що обумовлено дією незалежних факторів. В залежності від числа джерел дисперсії розрізняють однофакторний та багатофакторний дисперсійний аналіз.