1 Методические указания по выполнению контрольной работы

Написание контрольной работы является формой промежуточного кон­троля освоения студентами учебного материала по дисциплине. Целью кон­трольной работы является углубленное изучение методов статистики, закреп­ление теоретических знаний, приобретение навыков самостоятельной исследо­вательской работы, овладение современными приемами анализа показателей.

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. Работа должна быть выполнена аккуратно, разборчивым почерком.

2. В начале работы должен быть указан номер варианта работы. Задачи нужно решать в том порядке, в каком они даны в задании.

3. Условия задачи переписываются в тетрадь.

4. Решение задач следует сопровождать необходимыми пояснениями, расчетами с указанием применяемых статистических формул, анализом и выводами.

5. Решение задач по возможности нужно представлять в таблицах, оформленных в соответствии с правилами, принятыми в статистике. Для иллюстрации динамики и структуры рассматриваемых показателей следует использовать графики и диаграммы.

6. Если расчеты относительных показателей нужно производить с точностью до 0,001, а процентов до - 0,01.

7. В конце работы следует привести список использованной литературы, дату выполнения работы, подпись.

Студенты выполняют работу, состоящую из 5-6 задач.

Задачи 1-10 по теме «Статистические ряды распределения и их характеристики»

Ряд распределения - это ряд чисел, в котором значение изучаемого признака (варианты), расположены в определенном порядке: либо в порядке возрастания, либо убывания. Наряду с вариантами ряд распределения включает и частоты - величины, показывающие сколько раз каждая варианта встречается в данной совокупности. Сумма частот равна объему совокупности. Таким обра­зом, ряд распределения состоит из вариант (х) и частот (f).

В зависимости от прерывности или непрерывности варьирующего признака ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и вариационного (интервального). Дискретный ряд представляет собой ряд прерывных чисел. Например, распределение студентов по успевае­мости (табл.1). При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся ко всему интервалу. Примером интервально­го ряда может служить распределение предприятий по стоимости ОПФ (табл.2).

Таблица 1 - Распределение студентов по успеваемости

Оценка (балл)	Число студентов (частоты)	Накопленные частоты
2 3 4 5	2 12 10 6	1 12 22 30
Итого	30

Таблица 2 - Распределение предприятий по стоимости ОПФ

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн. руб.	Число предприятий в группе (частоты)	Накопленные частоты
20-40 40-60 60-80 80-100 100-120	2 5 10 8 5	2 7 17 25 30
Итого	30

В зависимости от вида ряда распределения по-разному можно изо­бразить их графически. Если ряд дискретный - строится полигон распре­деления. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты - на оси ординат. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Гисто­грамма распределения отличается от полигона тем, что на оси абсцисс бе­рутся не точки, а отрезки, изображающие интервал, т. е. гистограмма, строится на основе вариационного (интервального) ряда. По накопленным частотам строится кумулятивная кривая (кумулята).

Для определения средней арифметической надо сложить все вари­анты и полученную сумму разделить на число единиц, входящих в сово­купность (объем совокупности). Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная. Простая средняя используется тогда, когда каждая варианта встречается лишь один раз (1). Если каждая варианта встречается не­сколько раз, то следует подсчитать частоты и умножить (взвесить) каждую варианту на соответствующую частоту (2).

Простая средняя арифметическая (1)

Средняя арифметическая взвешенная (2)

В наших примерах средняя рассчитывается по формуле взвешенной, для таблицы

для таблицы

При расчете средней арифметической для интервального ряда нужно сначала определить середины интервалов как полусуммы значений верх­ней и нижней границ интервала. При наличии интервалов, где «открыты» верхняя или нижняя граница, величину интервала определяют по после­дующему или предыдущему интервалу.

Для характеристики рядов распределения кроме средней степенной применяются структурные средние: мода и медиана.

Мода - варианта, которая наиболее часто встречается в данной со­вокупности, т. е. варианта с наибольшей частотой.

Медиана - варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

Мода для дискретного ряда определяется просто и соответствует вариан­те с наибольшей частотой (3). По данным таблицы 1 мода равна 3, т.к. эта варианта встречается наибольшее число раз – 12. Для интервального ряда (с равными ин­тервалами) мода определяется по следующей формуле (по данным табл.2):

(3)

где i - длина интервала;

f₂- частота модального, f₁,- домодального, f₃- замодального интервалов;

х_Мо - начало модального интервала.

Медиану для дискретного определяют по накопленным частотам делени­ем объема совокупности пополам: по таблице 1 - 30:2=15. Это соответствует медиане, равной 4.

Для интервального ряда медиану определяют по формуле:

(4)

где S_m-₁ - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме - локальная частота медианного интервала;

х_Ме - начало медианного интервала.

В нашем примере по данным таблицы 2 получим:

Размах вариации - разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

R = X_max - X_min (5)

Среднее квадратическое отклонение - показатель вариации, измеряющий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифме­тической. Среднее квадратическое отклонение бывает простое (6) и взвешенное (7) и рассчитывается по формулам:

- простое (невзвешенное) (6)

- взвешенное (7)

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией, или средним квадратом отклонений.

Наряду с абсолютным показателем колеблемости признака - средним квадратическим отклонением - широко применяется и относительный показатель - коэффициент вариации, который показывает меру колеблемости призна­ка относительно его среднего значения и измеряется в процентах.

Задачи 11-20 на проверку гипотез относительно распределений

Реко­мендуем применить критерий согласия Х^г - Пирсона.

Каждому ряду распределения достаточно большой совокупности объек­тивно свойственна определенная закономерность. Моделирование кривой рас­пределения позволяет в компактной форме дать характеристику закономер­ности распределения, используя ее в планировании и прогнозировании. Од­ним из наиболее распространенных законов распределения, применяемых в качестве стандарта, с которым сравнивают другие распределения и которое имеет важное значение для решения задач выборочного наблюдения является нормальное распределение. Для того чтобы установить, верно, ли предполо­жение о том, что эмпирическое распределение подчиняется закону нормаль­ного распределения, необходимо сравнить его с теоретическим распреде­лением. Важно определить, являются ли различия между ними результатом действия случайных причин или обусловлены неправильно подобранной функ­цией. Критерии согласия, используемые с этой целью, разработаны К. Пирсоном, А. Колмогоровым, В. Романовским и др.

Критерий х² - Пирсона: , (8)

где f_i - эмпирические частоты (фактическое число единиц в группе);

f _т -теоретические частоты.

Чем меньше отклонение между эмпирическими и теоретическими часто­тами, тем меньше значение Х ²_факт, а значит, теоретическое распределение

лучше воспроизводит эмпирическое и наоборот. Если фактическое значение больше табличного, то отклонения являются существенными и эмпирический ряд распределения не подчиняется закону нормального распределения.

Значение Х ²_табл находится в специальных таблицах с учетом числа степе­ней свободы, равном числу интервалов (групп) ряда распределения минус единица.

Значение Х ²_факт рассчитывается по изложенной выше формуле, для кото­рой предварительно определяются теоретические частоты.

f (m) – для интервального ряда распределения,

где N - число единиц совокупности;

i- величина интервала;

- среднее квадратическое отклонение;

t- нормированное отклонение;

f(t)- значение функции плотности нормального распределения.

Нормированное отклонение определяется по формуле:

(9)

где - среднее значение признака.

Значение функции: табулировано и находится в специаль­ных таблицах в зависимости от величины нормированного отклонения. Теоретические частоты и параметры для их определения вычисляют­ся по каждой группе (интервалу) ряда распределения.

Пример: на примере таблицы 2 проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальном законе распределения предприятий по стоимости ОПФ.

Расчеты Х ²_факт представим в таблице 3.

Таблица 3- Эмпирическое и теоретическое распределение предприятия по выпуску продукции

Середина интервала х i	Число предпри­ятий f i		f(t)
30	2	2,00	0,0540	2	0
50	5	1,13	0,2107	6	0,17
70	10	0,26	0,3857	10	0
90	8	0,61	0,3312	9	0,11
110	5	1,48	0,1334	3	1,3
Итого	30	х	X	30	1,58

В расчетах теоретических частот f_т округлять до целых в большую сторону

= 76 млн. руб.

= 23 млн. руб.

Х ²_факт =1,58

Х ²_{табл =}9,95 при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы число интервалов - 1.

Так как Х ²_факт < Х ²_табл критического (допустимого) значения, то эмпирическое распределение соответствует нормальному.

Задачи 21-27 предполагают использование двух методов анализа взаи­мосвязей: аналитической группировки и корреляции. Результаты группировки должны быть сведены в групповую таблицу, которая имеет вид:

Таблица 4 – Пример групповой таблицы

Группы предприятий по ... (фак­торный при­знак)	Число предпри­ятий в группе	Факторный признак		Результативный при­знак
		всего	в среднем на 1 пред­приятие	всего	в среднем на 1 пред­приятие
I II III
Итого в среднем	30

Задача 30 предусматривает проведение вторичной группировки методом укрупнения интервала (см. В.М. Гусаров. Теория статистики.- С. 49).

Вторая часть задач 21-27 и задач 31-33 составлены по теме «Статисти­ческие методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений».

Решение их основано на корреляционном методе анализа. В задачах сле­дует использовать формулу линейного уравнения связи:

(10)

Параметры уравнения нахождения путем составления и решения системы нормальных уравнений способом наименьших квадратов:

Парный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

(11)

,

Коэффициент детерминации: Д = r² ×100%

Для нахождения параметров уравнения и расчета коэффициента корреля­ции нужно построить вспомогательную таблицу:

Таблица 5 – Вспомогательная таблица для нахождения параметров уравнения и расчета коэффициента корреля­ции

Результативный признак (выпуск продукции и т.д.) У	Факторный при­знак (стоимость фондов и т.д.) X	Расчетные данные
		х·у	х2	у2
1 2 3 и т.д.
Сумма

Задачи 34, 36-40, 43, 44 относятся к теме «Ряды динамики».

Задачи 35, 41, 42 базируются на теме «Относительные величины».

Задачи 45-52 предусматривают расчеты средних величин и показателей вариации.

Средняя арифметическая взвешенная: (12)

Средняя гармоническая взвешенная: (13)

Расчет среднего квадратического отклонения производится по формуле: (14)

Коэффициент вариации:

Задачи 53-61 составлены по теме «Индексы».

В задаче 54 следует применить средний арифметический индекс физиче­ского объема продукции: (15)

В задачах 55, 59 и 61 средний гармонический индекс цен:

(16)

В задаче 58 требуется сделать расчет индексов заработной платы постоянного состава:

(17)

переменного состава: (18)

структуры: (19)

где f - среднемесячная заработная плата 1 работника;

Т - численность работников.

В остальных задачах применяется основная агрегатная форма индексов и рассчитываются их взаимосвязи.

Задачи 62-73 составлены по теме «Выборочный метод».

Задача 62 решается с использованием формулы: (20)

Задачи 63, 65, 70, 73: (21)

Задача 64: (22)

Задачи 65, 67: (23)

Задачи 68, 69, 71: (24)

В задаче 72 надо определить вероятность F(t), для чего сначала находим , а потом по таблице интеграла вероятностей находим F(t).