Основні властивості невизначених інтегралів

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

.

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

.

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна стала:

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох (і будь-якого скінченого числа) функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх інтегралів:

.

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

.

4. Якщо функція F(x) є первісною функції f(x), то:

а) ;

б) ;

в) .

Усі ці рівності доводяться диференціюванням їх правої і лівої частин.

2. Таблиця основних невизначених інтегралів

1. , де - стала.

2. .

3. , .

4. , де , - сталі.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. ( .

17. ( ).

18. .

Яким чином можна довести кожну з цих формул?

3. Методи знаходження невизначених інтегралів

1. Метод безпосереднього інтегрування базується на основних властивостях невизначеного інтеграла та таблиці інтегралів.

Приклад. Знайти невизначені інтеграли:

Приклад 1.

2. Метод заміни змінної.

Одним з найефективніших методів інтегрування - метод заміни змінної або метод підстановки. Нехай треба обчислити інтеграл , але безпосередньо підібрати первісну не можна, хоча відомо, що вона існує.

Зробимо заміну змінної у підінтегральному виразі, поклавши , де - неперервна функція з неперервною похідною, яка має обернену функцію. Тоді ; доведемо, що у цьому випадку справедлива рівність

.

Тут маємо на увазі, що після інтегрування у правій частині рівності замість t буде підставлено його вираз через х: . Цей метод грунтується на властивості інваріантності диференціала, тобто , звівши тим самим обчислення даного інтеграла до обчислення інтеграла . Якщо цей інтеграл обчислено:

,

то, повернувшись до вихідної змінної х, дістанемо

.

Приклад 2. .

Розв'язання. Нехай х = a sint; тоді dx = a cost dt.

,

якщо cost > 0. Повернемось до змінної х:

, тоді

.

Таким чином, .

Приклад 3. .

Зробимо підстановку t = sinx; тоді dt = cosx dx і, отже,

.

Приклад 4. .

Зробимо підстановку t = Lпх; тоді dt = dx/x, отже

.

3. Метод інтегрування частинами застосовується тоді, коли під знаком інтеграла є добуток функцій. Нехай функції і мають на деякому проміжку неперервні похідні.

Формула інтегрування частинами: .

При обранні та потрібно враховувати:

1. Якщо підінтегральну функцію записано у вигляді добутку багаточлена на , , , , , то доцільно покласти за цей багаточлен.

2. Якщо підінтегральну функцію записано у вигляді добутку багаточлена на , , , де - деяке число, то доцільно обирати за багаточлен.

Приклад 5. .

Розв'язання. Нехай х = и, тоді cosxdx = dv. З останнього . Отже,

.

Іноді цей метод необхідно застосовувати декілька разів.

Приклад 6. .

Розв'язання. Припустимо, що ; . Тоді , .

Інтегруємо частинами:

Як знайти інтеграл, що стоїть праворуч?

Застосувавши до інтеграла, який стоїть праворуч, іще раз формулу інтегрування частинами, остаточно дістанемо:

.

Деякі інтеграли, які обчислюють методом інтегрування частинами:

, , , ,

, ,

де k, m - натуральні; a, b - будь-які дійсні числа.

Творчі завдання

1. Написати казку на тему: «Як інтеграл с похідною сперечалися».

2. Скласти таблицю «Хронологія розвитку поняття інтеграл».