Лекция 20. Дифференциал функции

Дифференциал функции — понятие столь же часто исполь­зуемое в математике как и производная.

Теорема о дифференцируемой функции

теорема

Чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке хо, необ­ходимо и достаточно выполнения равенства:

( *)

Достаточность

Докажем, что если формула (*) выполняется, то функция диф­ференцируема, т.е. имеет производную. Поделим формулу (*) на Δх, тогда

Необходимость

Исходим из определения производной. Поскольку

То согласно определения предела

что и требовалось доказать.

Вопрос: Что является эквивалентной приращению функции?

* Эквивалентной приращению функции является произве­дение производной функции на приращение аргумента, т.е.

* Приращение аргумента тождественно равно дифференци­алу аргумента.

— дифференциал аргумента

Вопрос: Как выразится производная функции через дифферен­циалы функции и аргумента?

* Производная функции равна частному дифференциалов функции и аргумента.

производная функции

Задача 2

Самостоятельно показать, что дифференциалы суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Геометрический смысл дифференциала

Задача1

Выяснить геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал и приближённое вычисление

___

Пример 1. Вычислить 0.9.

Производные и дифференциалы высших порядков

* Производной или дифференциалом второго порядка на­зывается производная производной или дифференциал дифференциала первого порядка.

Задача 3

Выразить дифференциал и производную n-го порядка.

В последнем равенстве круглые скобочки подразумеваются: это тот редкий случай, когда математики пишут одно, а подразумевают другое. Отсюда

Методом математической индукции можно показать, что

Задача 4

Проверить инвариантность формы дифференциала первого по­рядка.

Лекция 21. Формула Тейлора

Если дифференциал функции описывает приращение функции в первом приближении, то многочлен Тейлора описывает при­ращение функции со сколь угодной точностью.

Задача 1

Пусть функция (x) непрерывна и сколь угодное число раз дифференцируема на отрезке [a, b]. Найти эквивалентную при­ращения функции в точке x₀  (а, b) в виде многочлена n-ой степени.

• Согласно предыдущей лекции

Итак, приращение функции в точке x₀ , в виде многочлена n-ой степени имеет вид

где второе слагаемое дает погрешность многочлена Тейлора. Тоже равенство можно записать иначе

Задача 2

Пусть функция f(x) непрерывна и сколь угодное число раз дифференцируема в окрестности точки x = 0. Представить её в виде многочлена n-ой степени в окрестности этой точки.

• Согласно Задачи 1

Поскольку все последующие производные равны нулю, то под­становка производных в формулу Маклорена даст точное равенство

Полученный результат можно записать иначе

Пример 3. Известно, что sin x х.

x 0

Найти следующее приближение.