Ответ: –1,5.
Пример 12. (МИЭТ, 2005, № 10 из 11.) Известно, что f(x) нечетная периодическая функция с периодом 4 и f(x) = x4 – 2x3 при x ∈ [0; 2]. Вычислить сумму f(1) + f(2) + ... + f(150).
Решение. f(0) = 0, f(1) = 14 – 2∙13 = –1, f(2) = 24 – 2∙23 = 0. Поскольку f(x) нечетная функция, то f(–x) = –f(x), следовательно, f(–1) = –f(1) = 1.
Так как f(x) — периодическая с периодом 4, то
f(3) = f(3 – 4) = f(–1) = 1,
f(4) = f(4 – 4) = f(0) = 0,
f(5) = f(5 – 4) = f(1) = –1,
f(6) = f(6 – 4) = f(2) = 0,
. . . . . . . . . . .
f(147) = f(–1 + 4∙37) = f(–1) = 1,
f(148) = f(0 + 4∙37) = f(0) = 0,
f(149) = f(1 + 4∙37) = f(1) = –1,
f(150) = f(2 + 4∙37) = f(2) = 0.
Таким образом получаем, что искомая сумма равна
f(1) + f(2) + (f(3) + f(4) + f(5) + f(6)) + ... + (f(147) + f(148) + f(150)) =
= –1 + 0 + (1 + 0 – 1 + 0) + ... + (1 + 0 – 1 + 0) = –1.
Ответ: –1.
Пример 13. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство f(x + 2) = –f(x) имеет место для всех действительных x. Доказать, что функция f(x) является периодической с периодом 4.
Решение. Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение f(x + 2) = –f(x) примет вид f(t) = –f(t – 2).
В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим: f(x) = –f(x – 2). Подставим последнее выражение для f(x) в исходное уравнение и выполним преобразования: f(x + 2) = –(–f(x – 2)) ⇔ f(x + 2) = f(x – 2).
Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение f(x + 2) = f(x – 2) примет вид: f(u + 4) = f(u) ⇔ (переобозначение: u ↔ x) ⇔ f(x + 4) = f(x).
Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом 4. Ч. и т.д.
Пример
14.
(МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная
при всех значениях x и не равная 1 ни при
каком значении x, удовлетворяет условию
Найти f(2000), если f(2) = 3.
Решение. Докажем, что функция f(x) является периодической и найдем ее период.
Пусть
t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение
примет вид
В
последнем уравнении вместо переменной
(буквы) t может выступать любая другая
буква. Поэтому, заменив t на x, получим:
Подставим
последнее выражение для f(x) в исходное
соотношение и выполним преобразования:
Пусть
u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение
примет вид:
Пусть v = x + 4, тогда x = v – 4, и соотношение
Подставим
последнее выражение для f(x) в уравнение
и выполним преобразования:
Пусть w = x – 4, тогда x + 4 = w + 8, и уравнение f(x + 4) = f(x – 4) примет вид: f(w + 8) = f(w) ⇔ (переобозначение: w ↔ x) ⇔ f(x + 8) = f(x).
Таким образом, функция f(x) является периодической с периодом 8. Отсюда следует, что значение функции f(x) при x = 2000 будет равно значению f(x) при x = 8, так как 2000 = 8∙249 + 8.
Найдем:
Следовательно,
f(2000) = f(8) = 0,5.
Ответ: 0,5.
Пример 15. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству f(x + 3) = x + 5 – f(x), а при x ∈ [0; 3) задается формулой
f(x) = 1 + 6,5x – x2. Найти f(100).
Решение. В функциональном уравнении f(x + 3) = x + 5 – f(x) сделаем замену t = x + 3. Тогда x = t – 3, и соотношение f(x + 3) = x + 5 – f(x) примет вид:
f(t) = t + 2 – f(t – 3) ⇔ (переобозначение: t ↔ x) ⇔ f(x) = x + 2 – f(x – 3).
Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение f(x + 3) = x + 5 – f(x) и выполним преобразования:
f(x + 3) = x + 5 – (x + 2 – f(x – 3)) ⇔ f(x + 3) = 3 + f(x – 3).
Пусть w = x – 3, тогда x + 3 = w + 6, и уравнение f(x + 3) = 3 + f(x – 3) примет вид: f(w + 6) = 3 + f(w) ⇔ (переобозначение w ↔ x) ⇔ f(x + 6) = 3 + f(x).
Значит, функция f(x) является «почти периодической» с периодом 6. Причем при любом x значение функции f в точке x + 6 увеличивается на 3 по сравнению с ее значением в точке x. Поскольку 100 = 6∙16 + 4, то f(100) = 3∙16 + f(4) ⇔ f(100) = 48 + f(4).
Осталось вычислить f(4). Для этого воспользуемся соотношением f(x + 3)= = x + 5 – f(x).
При x = 1 получим: f(4) = 1 + 5 – f(1) ⇔ f(4) = 6 – f(1).
Найдем теперь f(1). Поскольку 1 ∈ [0; 3), то функция f(x) при x = 1 задается формулой f(x) = 1 + 6,5x – x2. Тогда f(1) = 1 + 6,5∙1 – 12 = 6,5.
Таким образом,
f(100) = 48 + f(4) ⇔ f(100) = 48 + 6 – f(1) ⇔ f(100) = 54 – 6,5 ⇔ f(100) = 47,5.