1. Решите уравнение .
Ответ.
.
Решение. На ОДЗ данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Из первого уравнения
получаем
или
;
из второго уравнения
или
.
ОДЗ удовлетворяют только значения
и
.
2. Решите уравнение .
Ответ.
Решение. На ОДЗ данное уравнение равносильно каждому из следующих:
,
,
,
откуда или , т.е. или . Условию удовлетворяют только значения .
3. Решите систему уравнений
Ответ.
,
.
Решение.
Первое уравнение можно переписать в
виде
,
откуда следует, что
или
.
Если
,
то подкоренное выражение во втором
уравнении отрицательно и система не
имеет решений. Если
,
то второе уравнение принимает вид
,
откуда
или
.
В итоге получаем два решения – пары чисел и .
4.
Дана трапеция
с основаниями
и
.
Окружность
радиуса
,
центр
которой лежит на диагонали
,
касается отрезков
,
и
в точках
,
и
соответственно. Известно, что
,
а четырёхугольник
вписан в окружность
.
Найдите угол
,
площадь трапеции
и радиус окружности
.
Ответ.
,
,
.
Решение.
Окружность вписана в углы
и
трапеции, следовательно, её центр лежит
на пересечении биссектрис этих углов.
Поскольку угол между биссектрисами
внутренних односторонних углов при
параллельных прямых равен
,
получаем
.
Треугольник
равнобедренный, так как
является его высотой и биссектрисой.
Значит,
также является медианой, поэтому
.
Пусть
.
Из прямоугольного треугольника
находим, что
,
,
,
.
Поскольку вокруг
четырёхугольника
можно описать окружность, сумма его
противоположных углов равна
.
Следовательно,
.
Из прямоугольного треугольника
находим, что
,
.
Из треугольника
получаем, что
.
Находим площадь трапеции:
.
Отрезок
является диаметром окружности
.
Из треугольника
получаем, что
;
.
Следовательно, радиус
окружности
равен 
.
5. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение ?
Ответ. 189.
Решение.
Правая часть представляет собой
произведение натуральных степеней
чисел 2, 3, 5. Следовательно, в разложении
левой части на простые множители также
будут содержаться только множители 2,
3, 5. Тогда числа
и
можно записать как
,
,
где все показатели степеней есть целые
неотрицательные числа. Уравнение
принимает вид
,
что равносильно системе уравнений
Чтобы все переменные
принимали целые неотрицательные значения
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия
,
,
.
Получаем девять вариантов для первого
уравнения, семь вариантов для второго
и три для третьего. В итоге
решений.
6. Найдите все значения переменной , при каждом из которых оба выражения
и
определены, причём значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
Ответ.
.
Решение. Меньшее из выражений не превосходит двух тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выражений не превосходит двух. Получаем совокупность неравенств
Первое неравенство равносильно следующему:
,
,
,
.
Рассмотрим
неравенство
.
В его левой части записана сумма двух взаимно обратных чисел. Она не превосходит двух в одном из двух случаев:
а) каждое из чисел
отрицательно, т.е.
,
откуда
;
б)
каждое из чисел равно единице, т.е.
,
откуда
,
,
.
За счёт области
определения функции
получаем ограничение
,
а за счёт области определения
– ограничение
.
Объединяя решения и учитывая эти ограничения, получаем, что .
7.
Даны пирамида
и сфера. Ребро
пирамиды является диаметром сферы;
прямые, содержащие три других ребра,
касаются сферы, а середины двух оставшихся
рёбер лежат на сфере. Найдите угол
,
длину ребра
и объём пирамиды
,
если
.
Ответ.
,
,
.
Решение. Предположим, что сфера касается прямых и . Тогда перпендикулярно плоскости , поэтому сфера имеет единственную общую точку с плоскостью , и значит, не имеет общих точек с ребром . С прямыми , , сфера будет иметь по две точки пересечения, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что сфера не может касаться одновременно рёбер и .
Значит, сфера касается ровно одной из двух прямых или – пусть, для определённости, ребра . Тогда сфера также касается прямых и и проходит через середины и рёбер и соответственно.
Из касания сферы с прямой следует, что . Так как – средняя линия треугольника , то , откуда вытекает, что – прямоугольный равнобедренный треугольник и . Аналогично доказывается, что – равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой .
Пусть
– точка касания сферы с ребром
.
Треугольник
–
равнобедренный (т.к. отрезки
и
– это соответствующие медианы равных
треугольников
и
),
– его высота, а значит, и медиана. Из
равенства треугольников
и
получаем, что
,
следовательно,
.
Опустим из вершины высоту на плоскость . Тогда точка лежит на прямой, проходящей через точку параллельно . Пусть , . По теореме Пифагора из треугольников и получаем
, .
Решая эти уравнения, находим, что , .
Тогда объём пирамиды равен .