Содержание

• 1 История

• 2 Формальное определение

  • 2.1 Представление в виде графа

    • 2.1.1 Асимметричная и симметричная задачи

    • 2.1.2 Метрическая задача

  • 2.2 Формулировка в виде задачи дискретной оптимизации

• 3 Алгоритмическая сложность

• 4 Замкнутый и незамкнутый варианты задачи

• 5 Методы решения

  • 5.1 Простейшие

  • 5.2 Метод ветвей и границ

  • 5.3 Метод эластичной сети

    • 5.3.1 История

    • 5.3.2 Алгоритм

• 6 Литература

• 7 Примечания

• 8 См. также

• 9 Ссылки

История

Точно неизвестно, когда проблему коммивояжера исследовали впервые. Однако, известна изданная в 1832 году книга с названием «Коммивояжер — как он должен вести себя и что должен делать для того, чтобы доставлять товар и иметь успех в своих делах — советы старого курьера» (нем. Der Handlungsreisende – wie er sein soll und was er zu tun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiß zu sein – von einem alten Commis-Voyageur), в которой описана проблема, но математический аппарат для её решения не применяется. Зато в ней предложены примеры маршрутов для некоторых регионов Германии и Швейцарии.

Ранним вариантом задачи может рассматриваться англ. Icosian Game Уильяма Гамильтона 19 века, которая заключалась в том, чтобы найти маршруты на графе с 20 узлами. Первые упоминания в качестве математической задачи на оптимизацию принадлежат Карлу Менгеру (нем. Karl Menger), который сформулировал её на математическом коллоквиуме в 1930 году так:

Мы называем проблемой посыльного (поскольку этот вопрос возникает у каждого почтальона, в частности, ее решают многие путешественники) задачу найти кратчайший путь между конечным множеством мест, расстояние между которыми известно.

Гамильтон Уильям Роуэн.

Вскоре появилось известное сейчас название задача странствующего торговца (англ. Traveling Salesman Problem), которую предложил Гаслер Уитни (англ. Hassler Whitney) из Принстонского университета.

Вместе с простотой определения и сравнительной простотой нахождения хороших решений задача коммивояжера отличается тем, что нахождение действительно оптимального пути является достаточно сложной задачей. Учитывая эти свойства, начиная со второй половины 20-го века, исследование задачи коммивояжера имеет не столько практический смысл, сколько теоретический в качестве модели для разработки новых алгоритмов оптимизации.

Многие современные распространенные методы дискретной оптимизации, такие как метод отсечений, ветвей и границ и различные варианты эвристических алгоритмов, были разработаны на примере задачи коммивояжера.

В 1950-е и 1960-е годы задача коммивояжера привлекла внимание ученых в США и Европе. Важный вклад в исследование задачи принадлежит Джорджу Данцигу, Делберту Рею Фалкерсону (англ. Delbert Ray Fulkerson) и Селмеру Джонсону (англ. Selmer M. Johnson), которые в 1954 году в институте RAND Corporation сформулировали задачу в виде задачи дискретной оптимизации и применили для ее решения метод отсечений. Используя этот метод, они построили путь коммивояжера для одной частной постановки задачи с 49 городами и обосновали его оптимальность. В 1960-е и 1970-е годы задача изучалась многими учеными как теоретически, так и с точки зрения ее приложений в информатике, экономике, химии и биологии.

Ричард Карп в 1972 году доказал NP-полноту задачи поиска гамильтоновых путей, из чего, благодаря полиномиальной сводимости, вытекала NP-трудность задачи коммивояжера. На основе этих свойств им было приведено теоретическое обоснование сложности поиска решений задачи на практике.

Больших успехов удалось достичь в конце 1970-х и 1980-х годах, когда Мартин Грётчел (нем. Martin Grötschel), Манфред Падберг (нем. Manfred Padberg) и Джованни Ринальди (итал. Giovanni Rinaldi) и другие, с применением новых методов деления плоскостью, ветвей и границ вычислили решение для отдельного случая задачи с 2393 городами.

В 1990-е годы Дэвид Аплгейт (англ. David Applegate), Роберт Биксби (англ. Robert Bixby), Вашека Шватал (англ. Vašek Chvátal) и Уильям Кук (англ. William Cook) установили рекорды по программе Конкорд. Герхард Райнельт (нем. Gerhard Reinelt) создал TSPLIB — набор стандартизованных экземпляров задачи коммивояжера различной степени сложности для сравнения результатов работы различных групп исследователей. В марте 2005 года задача с 33 810 узлами была решена программой Конкорд: был вычислен путь длиной в 66 048 945 и доказано отсутствие более коротких путей. В апреле 2006 было найдено решение для экземпляра с 85 900 узлами. Используя методы декомпозиции, можно вычислить решения для случаев задачи с миллионами узлов, длина которых менее чем на 1 % больше оптимальной.

Формальное определение