При последовательность функций (кубический сплайн и первые две его производные) сходится, соответственно, к

Замечание. Кубический сплайн можно получить как решение следующей задачи. Пусть множество непрерывных, непрерывно дифференцируемых и дважды кусочно непрерывно дифференцируемых функций , удовлетворяющих условиям , и . Требуется найти функцию , дающую .

Решением – кубический сплайн , удовлетворяющий условиям и , где .

Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционный полином Эрмита

Более общая задача интерполирования: в точках заданы значения функции и ее производных до какого-то порядка, в каждом узле своего.

Как строить интерполяционный полином?

– это базисная система функций на .

Найти функцию

, (3.18)

что

(3.19)

где – заданные числа,

при .

Необходимо:

1) число неизвестных коэффициентов в (3.18) = число условий:

(3.20)

2) чтобы определитель

(3.21)

Пусть , построим обычный полином степени не выше m, удовлетворяющий условиям (3.19) и интерполяционный полином Лагранжа , принимающий в узлах значения .

– многочлен степени не выше m, обращающийся в нуль в точках ,.

, (3.22)

где .

При любом

(3.23)

принимает в узлах интерполяции значения .

Подберем многочлен так, чтобы удовлетворялись и остальные условия в (3.19).

. (3.24)

При : . (3.25)

Так как , то в каждой точке, в которой задано значение , по (3.25) определим и , т.е. значения полинома в узлах интерполирования.

Продифференцируем (3.24) еще раз:

.

При

.

Найдем в тех точках, в которых заданы и так далее.

Задача построения полинома сведена к задаче построения полинома , удовлетворяющего условиям

(3.26)

Продолжаем: и т.д.

Результат: интерполяционный полином Лагранжа с заданными значениями в узлах .

Обратный путь: найдем .–интерполяционным полиномом Эрмита.

Многомерная интерполяция

Интерполирование функции двух переменных

На плоскости даны (n+1) точки . Будем разыскивать многочлен возможно низшей степени, который в этих точках принимает заданные значения . Искомый полином запишем в виде



Система (n+1) линейных независимых алгебраических уравнений относительно неизвестных .



Первое принципиальное затруднение: если на не накладывать дополнительных условий, то (n+1) = , т.е. не можем решить задачу при произвольном количестве узлов интерполирования.

Второе принципиальное затруднение: узлы интерполирования не могут быть расположены произвольно

Пусть n=2. Рассмотрим определитель полученной системы

.

Этот определитель обращается в нуль, если три точки лежат на одной прямой, и поэтому возникает вопрос о существовании и единственности решения. Аналогично соответствующие определители будут обращаться в нуль, если точки – узлы интерполяции будут лежать на кривых второго, третьего и т.д. порядков. Проверка того, что определители не обращаются в нуль, чрезвычайно затруднительна.

Третье принципиальное затруднение возникает при оценке остаточного члена. Теорема Ролля для рассматриваемого случая не действует.

Специальный случай двумерной интерполяции:

узлов и расположим их следующим образом

(3.27)

Выбранные узлы не могут лежать на одной кривой порядка n .

Интерполяционный полином – , и = ,.

Для узлов : и = ,

– многочленом степени не выше n, обращается в нуль в точках .

Можно подобрать так, что при .

Точка : все члены =0 за исключением .

(3.28)

Аналогично для и т.д. получим

(3.29)

.

В точке , , следовательно

– разделенная разность функции при фиксированном . .

Аналогично . При ,

