1.2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности

Пусть для эксперимента со случайным исходом можно указать N событий A₁, A₂, ... , A_N, обладающих следующими свойствами:

1. события A₁, ... , A_N попарно несовместны, т.е. любые два из них не могут произойти вместе;

2. события A₁, ... , A_N образуют полную группу, т.е. при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит;

3. события A₁, ... , A_N равновозможны, т.е. ни одно из них не является более предпочтительным, чем другое.

В этой классической схеме события A₁,A₂,...,A_N называют случаями. Тогда для вероятности любого случайного события А, связанного с данным экспериментом со случайным исходом, имеем (по определению):

. (1.2.1)

Классическое определение вероятности. Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А, к числу всех случаев.

Задача 1.2.1. В урне находится 10 шаров, из них 7 белых и 3 чёрных. Наудачу извлекают 1 шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. А – вытягивание белого шара. N=10 – число всех случаев; M=7 – число случаев, благоприятствующих событию А. P(A) = 7/10.

Страхование. История страховых операций прослеживается на протяжении тысячелетий, но применение математических методов, отличных от простого счёта, начинается с понятия о таблице продолжительности жизни, введённого в 1662 году членом Королевского Общества Д. Гронтом (Англия). Простейшая форма таблицы продолжительности жизни представляет собой картину выживания некоторой группы людей одинакового возраста. Приведённая ниже табл. 1.2.1 представляет собой часть таблицы смертности за 1967 – 1970 годы, составленной на основании статистических данных, которые в течение многих лет собирались Институтом по подготовке специалистов по страхованию и Факультетом специалистов по страховому делу (Шотландия).

Таблица 1.2.1

Возраст, x	Число живущих, lx	Число смертей, dx	Скорость смертности, Px
…	…	…	…
60	100000	1471	0,01471
61	98529	1608	0,01632
62	96921	1752	0,01808
63	95169	1904	0,02001
64	93265	2054	0,02213
65	91201	…	…
…	…	…	…

Скорость смертности – это вероятность того, что лицо возраста x скончается до достижения возраста x+1. Так, если начать со 100 000 человек 60-летнего возраста, то на основании табл. 1.2.1 1471 из них умрут, не достигнув 61 года.

Поэтому по классическому определению вероятности P=1471/100000=0,01471. Остаток 98529 человек будет представлять число доживших до 61 года. На основании таблицы 1608 из них умрут, не достигнув 62 лет. Скорость смертности P=1608/98529=0,01632. Из таблицы видно, что полное число смертей в возрасте от 60 до 64 лет – 8799, поэтому вероятность, что отдельная личность, дожившая до 60 лет, умрёт не достигнув 65-летнего возраста, равна P=8799/100000=0,08799, а дополнение её до 1, т.е. 0,91201 или l₆₅/l₆₀ – это вероятность дожить до 65 лет. Скорость смертности Р_х используется для расчёта страховых взносов.

Статистическое определение вероятности

Пусть в серии из n опытов случайное событие А осуществлялось m раз. Тогда отношение m/n называют относительной частотой события А в этой серии испытаний.

Замечено, что при условиях независимых исходов отдельных опытов относительная частота события обнаруживает при больших n свойство стабильности: различные серии испытаний (по n испытаний каждая) дают весьма близкие значения относительной частоты. Статистической вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n. Свойство устойчивости относительных частот при большом числе n однородных опытов – одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в массовых случайных явлениях.