3. Лінійна функція, її графік

Означення. Лінійною називається функція, яку можна задати формулою y = kx + b, де х – аргумент, k і b – дані числа.

Графіком цієї функції є пряма.

Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок.

Властивості:

1. Область визначення: D (y) = R.

2. Якщо k > 0 – функція зростає, якщо k < 0 – функція спадає.

3. При k 0, b 0 – лінійна функція не є ні парною, ні непарною.

4. b – ордината точки перетину графіка з віссю Оу.

у

k > 0

х

k < 0

Наприклад. Задано функцію . Яка це функція? Знайти її область визначення. Чи є вона зростаючою на якій-небудь множині?

Розв’язання. Оскільки , то задану функцію можна записати у вигляді: ; .

Отже, задана функція є лінійною. Її областю визначення як лінійної функції є множина R. Оскільки ця функція спадна на R, то вона не може бути зростаючою на будь-якій множині Р.

Питання для узагальнення

• Яка функція називається лінійною?

• Що є графіком лінійної функції?

• Які властивості має лінійна функція?

Рухлива фізкультхвилинка

4. Пряма пропорційність, її властивості і графік

Означення. Лінійну функцію, що задається формулою y = kx, де k 0 називають прямою пропорційністю. Число k у формулі називають коефіцієнтом пропорційності.

Графіком є пряма, що проходить через початок координат. Якщо k > 0, графік лежить у І і ІІІ координатних чвертях, якщо k < 0, то графік лежить у ІІ і ІV чвертях.

Прямопропорційні залежності: якщо значення змінної х зростають, то зростають і значення змінної у.

Приклад S = V · t, t – const, V – збільшується і S – збільшується.

Пряма пропорційність – це окремий випадок лінійної функції при , а . Тому справедливі такі твердження:

1. Областю визначення прямої пропорційності є множина R.

2. Пряма пропорційність з додатним (від’ємним) коефіцієнтом пропорційності є зростаючою (спадною) функцією на всій області визначення.

3. Графіком прямої пропорційності є пряма з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює коефіцієнту пропорційності, і початковою ординатою, що дорівнює нулю.

Н а рис. зображено графіки прямої про порційності для .

4. Для прямої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу, що існує, дорівнює відношенню відповідних значень функції: .

Для прямої пропорційності з додатним коефіцієнтом із збільшенням (зменшенням) значення аргументу в кілька разів відбувається збільшення (зменшення) значення функції у стільки ж разів.

Наприклад. Точка (2; 4) належить графіку прямої пропорційності. Записати формулу цієї залежності.

Розв’язання. Згідно з означенням прямої пропорційності, шукана формула має вигляд , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки точка (2; 4) належить графіку розглядуваної функції, то , звідки .

Отже, шуканою формулою є .

Питання для узагальнення

• Яка функція називається прямою пропорційністю?

• Що є графіком прямої пропорційності?

• Які властивості має пряма пропорційність?